Aufgabe: Bruchgleichungen Stufe 1
Lösung
Gegeben:
\(\displaystyle \frac{19x}{6x^2} = 2 \quad (x \ne 0)\)
1) Definitionsmenge / Einschränkung
Im Nenner steht \(6x^2\). Damit der Bruch definiert ist, darf der Nenner nicht \(0\) sein:
\(6x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\).
Diese Bedingung ist bereits angegeben: \(x \ne 0\).
2) Bruch vereinfachen
Schau dir den Bruch \(\frac{19x}{6x^2}\) an: Im Zähler steht ein \(x\), im Nenner steht \(x^2\).
Man kann ein \(x\) kürzen (aber nur, weil \(x \ne 0\) gilt!):
\[
\frac{19x}{6x^2} = \frac{19}{6x}.
\]
3) Gleichung ohne Bruch lösen
Jetzt lautet die Gleichung:
\[
\frac{19}{6x} = 2.
\]
Um den Bruch zu entfernen, multipliziert man beide Seiten mit \(6x\) (das ist erlaubt, weil \(x \ne 0\)):
\[
\frac{19}{6x}\cdot 6x = 2 \cdot 6x.
\]
Links kürzt sich \(6x\) vollständig weg:
\[
19 = 2 \cdot 6x.
\]
Das ist genau der richtige Zwischenschritt, der auch als „korrekte Antwort“ angegeben ist.
4) Weiterer Umformungsschritt (ohne Endergebnis)
Als Nächstes würdest du rechts zuerst \(2 \cdot 6\) zusammenfassen, also \(12x\) schreiben:
\[
19 = 12x.
\]
Danach würdest du beide Seiten durch \(12\) teilen, um \(x\) allein zu bekommen.
(Den letzten Schritt und das Endergebnis schreibe ich hier bewusst nicht aus.)
Tipps
- Immer zuerst kürzen, wenn möglich: \(\frac{19x}{6x^2}\) wird sofort viel einfacher.
- Nie durch etwas teilen oder kürzen, das 0 sein könnte. Darum ist \(x \ne 0\) hier so wichtig.
- Wenn du Brüche entfernen willst: mit dem Nenner multiplizieren (hier mit \(6x\)).