Thema: Bruchgleichungen Stufe 1
Lösung
Aufgabe: \(\frac{20x}{x^2} = 5 \quad (x \ne 0)\)
1) Definitionsmenge / Einschränkung
Im Nenner steht \(x^2\). Damit der Bruch definiert ist, darf der Nenner nicht \(0\) sein:
\(x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\).
2) Bruch vereinfachen
Im Bruch \(\frac{20x}{x^2}\) steckt im Nenner \(x^2 = x \cdot x\).
Man kann (weil \(x \ne 0\)) ein \(x\) kürzen:
\[
\frac{20x}{x^2} = \frac{20x}{x\cdot x} = \frac{20}{x}.
\]
Die Gleichung wird dadurch zu:
\[
\frac{20}{x} = 5.
\]
3) Bruchgleichung lösen (Nenner beseitigen)
Um den Nenner \(x\) loszuwerden, multipliziert man beide Seiten mit \(x\) (das ist erlaubt, weil \(x \ne 0\)):
\[
x \cdot \frac{20}{x} = x \cdot 5.
\]
Links kürzt sich \(x\) weg:
\[
20 = 5x.
\]
4) Nach \(x\) auflösen
Jetzt ist es eine einfache lineare Gleichung. Teile beide Seiten durch \(5\):
\[
\frac{20}{5} = x.
\]
Rechne \(\frac{20}{5}\) ohne Hilfsmittel aus (z.B. durch Kürzen oder weil \(20 = 4\cdot 5\)).
5) Probe & Einschränkung beachten
Setze deinen gefundenen Wert für \(x\) in \(\frac{20}{x} = 5\) (oder in die ursprüngliche Gleichung) ein und prüfe,
ob links wirklich \(5\) herauskommt.
Außerdem: Stelle sicher, dass dein \(x\) nicht \(0\) ist (sonst wäre der Bruch nicht definiert).
Tipp
- Wenn im Zähler und Nenner ein gemeinsamer Faktor vorkommt (hier \(x\)), lohnt sich erst zu kürzen (mit der Bedingung \(x\ne 0\)).
- Alternativ kann man auch direkt am Anfang beide Seiten mit \(x^2\) multiplizieren, aber das Kürzen macht es hier schneller und übersichtlicher.