Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus
Lösung
Aufgabe
\(2^x = 8\)
Idee
Wenn die Unbekannte im Exponenten steht, kann man sie mit einem Logarithmus „herunterholen“.
Allgemein gilt:
\[
a^x = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_a(b)
\]
Hier ist \(a=2\) und \(b=8\). Also:
\[
x = \log_2(8)
\]
Ohne Logarithmus weiterrechnen (oft am einfachsten)
Weil \(8\) eine Potenz von \(2\) ist, kann man \(8\) als \(2^?\) schreiben:
\[
8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3
\]
Setze das in die Gleichung ein:
\[
2^x = 2^3
\]
Wenn die Basis gleich ist (hier jeweils \(2\)), müssen die Exponenten gleich sein:
\[
x = 3
\]
Verbindung zur Logarithmus-Schreibweise
Aus \(x = \log_2(8)\) folgt also, dass \(\log_2(8)\) genau die Zahl ist, zu der man \(2\) potenzieren muss,
um \(8\) zu erhalten. Da \(2^3 = 8\), ist \(\log_2(8)\) entsprechend diese Zahl.
Tipp
-
Prüfe zuerst, ob die rechte Seite (hier \(8\)) eine „schöne“ Potenz der Basis (hier \(2\)) ist.
Dann kannst du oft ohne Logarithmen direkt vergleichen. - Merksatz: \(\log_a(b)\) beantwortet die Frage: „Welche Potenz von \(a\) ergibt \(b\)?“
Hinweis: Du kannst am Ende zur Kontrolle kurz einsetzen: \(2^x\) muss wieder \(8\) ergeben.