Aufgabe
Lösung
Gegeben ist die Gleichung: \(2^x = 1024\).
Idee
Wenn die Unbekannte \(x\) im Exponenten steht, kann man sie mit einem Logarithmus „herunterholen“.
Genau dafür ist der Logarithmus zur Basis 2 geeignet:
\(\log_2(2^x) = x\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Logarithmus zur Basis 2 auf обе Seiten anwenden
Wende \(\log_2(\,\cdot\,)\) auf beide Seiten der Gleichung an:
\(\log_2(2^x) = \log_2(1024)\)
2) Logarithmengesetz benutzen
Es gilt das wichtige Gesetz:
\(\log_a(a^x) = x\) (für \(a>0\), \(a\neq 1\)).
Damit wird die linke Seite sofort zu:
\(x = \log_2(1024)\)
3) Den Wert von \(\log_2(1024)\) ohne Rechner bestimmen
Jetzt überlege: Welche Zweierpotenz ergibt 1024?
Dazu kann man 1024 als Potenz von 2 schreiben, z.B. durch wiederholtes Verdoppeln:
- \(2^{5} = 32\)
- \(2^{6} = 64\)
- \(2^{7} = 128\)
- \(2^{8} = 256\)
- \(2^{9} = 512\)
- \(2^{10} = 1024\)
Wenn also \(1024 = 2^{10}\), dann ist
\(\log_2(1024) = \log_2(2^{10})\)
und mit dem Gesetz aus Schritt 2 folgt:
\(\log_2(2^{10}) = 10\)
Ergebnis (ohne es als „Endantwort“ auszuschreiben)
Damit ist \(x\) genau der Exponent, den du in der Liste oben bei \(2^x = 1024\) findest
(siehe die Zeile mit \(2^{10}\)).
Tipps
- Merke dir einige wichtige Zweierpotenzen: \(2^{10}=1024\) ist besonders häufig.
- Allgemein: Wenn du \(a^x=b\) hast, dann gilt \(x=\log_a(b)\).
-
Wenn die Zahl nicht so „schön“ ist wie 1024, kann man manchmal durch Zerlegen helfen, z.B.
\(b = a^m \cdot a^n\).