Aufgabe: Exponent berechnen mit Logarithmus
Lösung
Gegeben: \(36^x = 1296\)
Gesucht: \(x\) (und zwar \(x = \log_{36}(1296)\))
Schritt 1: Idee verstehen (Logarithmus als Umkehrung der Potenz)
Die Gleichung \(36^x = 1296\) bedeutet:
„Welche Zahl \(x\) muss ich als Exponent nehmen, damit aus \(36\) die Zahl \(1296\) wird?“
Genau das beschreibt der Logarithmus:
\[
x = \log_{36}(1296)
\]
Schritt 2: Ohne Rechner geschickt umformen
Da man ohne Taschenrechner arbeitet, ist es am einfachsten, beide Zahlen als Potenzen derselben Basis zu schreiben.
Hier bietet sich die Basis \(6\) an, weil:
- \(36 = 6^2\)
- \(1296\) ist ebenfalls eine Potenz von \(6\) (das prüfen wir gleich)
Schritt 3: \(1296\) als Potenz von \(6\) schreiben
Wir bauen \(1296\) aus bekannten Potenzen:
\[
6^2 = 36
\]
\[
6^3 = 6 \cdot 36 = 216
\]
\[
6^4 = 6 \cdot 216 = 1296
\]
Also gilt:
\[
1296 = 6^4
\]
Schritt 4: Alles in die Gleichung einsetzen
Ausgangsgleichung:
\[
36^x = 1296
\]
Ersetze \(36\) durch \(6^2\) und \(1296\) durch \(6^4\):
\[
(6^2)^x = 6^4
\]
Schritt 5: Potenzgesetze anwenden
Mit dem Potenzgesetz \((a^b)^c = a^{b\cdot c}\) wird links:
\[
(6^2)^x = 6^{2x}
\]
Damit lautet die Gleichung:
\[
6^{2x} = 6^4
\]
Schritt 6: Exponenten vergleichen
Wenn die Basen gleich sind (hier jeweils \(6\)), müssen die Exponenten gleich sein:
\[
2x = 4
\]
Schritt 7: Nach \(x\) auflösen
Teile beide Seiten durch \(2\):
\[
x = \frac{4}{2}
\]
Tipps, um solche Aufgaben schneller zu lösen
- Versuche zuerst, beide Zahlen als Potenzen einer gemeinsamen Basis zu schreiben (oft \(2,3,5,6,10\)).
- Erkenne Quadratzahlen: \(36 = 6^2\) ist ein sehr hilfreicher Start.
- Wenn du die Gleichung auf die Form \(a^{\text{(etwas)}} = a^{\text{(etwas)}}\) bringst, kannst du direkt die Exponenten gleichsetzen.
Damit hast du \(x = \log_{36}(1296)\) vollständig bestimmt, ohne den Wert am Ende auszuschreiben.