Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus
Lösung
Aufgabe: \(32^x = 1024\)
Gegeben (richtiger Ansatz): \(x = \log_{32}(1024)\)
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne das Endergebnis auszurechnen)
1) Idee: Gleiche Basis finden
Bei solchen Aufgaben ist es oft am einfachsten, beide Zahlen als Potenzen derselben Grundzahl zu schreiben.
Hier bietet sich die Zahl \(2\) an, weil sowohl \(32\) als auch \(1024\) Zweierpotenzen sind.
2) Schreibe \(32\) und \(1024\) als Potenzen von \(2\)
Überlege:
- \(32 = 2^5\), denn \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)
- \(1024 = 2^{10}\), denn \(2^{10} = 1024\)
3) Setze das in die Gleichung ein
Aus \(32^x = 1024\) wird:
\((2^5)^x = 2^{10}\)
4) Potenzgesetz anwenden
Nutze das Potenzgesetz \((a^b)^c = a^{b \cdot c}\):
\((2^5)^x = 2^{5x}\)
Damit lautet die Gleichung:
\(2^{5x} = 2^{10}\)
5) Exponenten vergleichen
Wenn zwei Potenzen mit gleicher Basis gleich sind (hier Basis \(2\)), dann müssen die Exponenten gleich sein:
\(5x = 10\)
6) Nach \(x\) auflösen (ohne Endwert auszurechnen)
Teile beide Seiten durch \(5\):
\(x = \dfrac{10}{5}\)
Kontroll-Tipp
Du kannst am Ende prüfen, ob \(32^x\) wirklich \(1024\) ergibt, indem du \(x\) in Gedanken einsetzt:
\(32^1 = 32\), \(32^2 = 1024\). So siehst du schnell, ob es passt.
Zusatz: Verbindung zum Logarithmus
Deine Angabe \(x = \log_{32}(1024)\) bedeutet genau:
„Welche Zahl \(x\) muss ich als Exponent auf \(32\) setzen, damit \(1024\) herauskommt?“
Das ist exakt dieselbe Frage wie in der Ausgangsgleichung \(32^x = 1024\).