Aufgabe: Exponent berechnen mit Logarithmus
Lösung
Gegeben: \(7^x = 49\)
Schritt 1: Bedeutung des Logarithmus nutzen
Die Gleichung \(7^x = 49\) fragt:
„Mit welchem Exponenten muss ich 7 potenzieren, damit 49 herauskommt?“
Genau dafür ist der Logarithmus da. Allgemein gilt:
\[
a^x = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_a(b)
\]
Hier ist \(a=7\) und \(b=49\). Also kann man direkt umformen zu:
\[
x = \log_7(49)
\]
Schritt 2: \(49\) als Potenz von \(7\) schreiben
Um \(\log_7(49)\) ohne Rechner auszuwerten, versucht man \(49\) als Potenz von \(7\) zu erkennen:
\[
7 \cdot 7 = 49 \quad \Rightarrow \quad 49 = 7^2
\]
Schritt 3: Logarithmusregel anwenden
Wenn \(49 = 7^2\), dann gilt:
\[
\log_7(49) = \log_7(7^2)
\]
Und allgemein ist:
\[
\log_a(a^k) = k
\]
Damit wird aus \(\log_7(7^2)\) direkt der passende Exponent.
Tipp
Bei solchen Aufgaben lohnt es sich fast immer, die rechte Zahl (hier \(49\)) als Potenz der Basis (hier \(7\)) zu schreiben.
Das geht oft durch einfaches Überlegen oder kleines Einmaleins (z.B. \(7^2=49\), \(2^5=32\), \(3^4=81\) usw.).
Hinweis: Den letzten Schritt (den Wert von \(x\)) kannst du nun selbst aus dem Exponenten ablesen.