Lösung
Thema: Ableitung mit cos(x) (Produktregel)
Gegeben:
\( f(x) = (x^5 + 1)\cdot \cos x \)
1) Erkennen der Struktur
Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren:
- \(u(x) = x^5 + 1\)
- \(v(x) = \cos x\)
2) Produktregel anwenden
Für \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) gilt die Produktregel:
\( f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) \)
3) Einzelne Ableitungen berechnen
a) Ableitung von \(u(x)=x^5+1\)
- \(\frac{d}{dx}(x^5)=5x^4\) (Potenzregel)
- \(\frac{d}{dx}(1)=0\) (Konstante)
Also: \(u'(x)=5x^4\)
b) Ableitung von \(v(x)=\cos x\)
Merksatz: \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)
Also: \(v'(x)=-\sin x\)
4) In die Produktregel einsetzen
Setze \(u'(x)\), \(u(x)\), \(v(x)\), \(v'(x)\) in
\( f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) \) ein:
\( f'(x) = (5x^4)\cdot (\cos x) + (x^5+1)\cdot (-\sin x) \)
5) Vorzeichen sauber vereinfachen
Der zweite Term enthält ein „Plus“ und ein negatives \(v'(x)\). Das wird zu einem Minus:
\( f'(x) = 5x^4\cos x – (x^5+1)\sin x \)
Tipps zum leichteren Lösen
-
Schreibe bei der Produktregel immer erst das Schema hin:
\(u’v + uv’\). Dann vertauschst du nichts. - Merke dir besonders: \(\cos x \rightarrow -\sin x\). Das Minus ist eine häufige Fehlerquelle.
- Klammern beim zweiten Term nicht vergessen: \((x^5+1)\sin x\) gehört zusammen.
Damit hast du die Ableitung vollständig hergeleitet. (Das Endergebnis wird hier bewusst nicht extra als „finale Antwort“ markiert.)