Lösung
Thema: Ableitung mit \(\sin x\)
Gegeben: \[
f(x)=(6-x)\cdot \sin x
\]
1) Welche Regel braucht man?
Da \(f(x)\) ein Produkt aus zwei Funktionen ist, benutzt man die Produktregel:
\[
(u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘
\]
2) Funktionen aufteilen
Setze:
\[
u(x)=6-x \qquad\text{und}\qquad v(x)=\sin x
\]
3) Einzelne Ableitungen bilden
Ableitung von \(u(x)=6-x\):
Die Ableitung von \(6\) ist \(0\), die Ableitung von \(-x\) ist \(-1\).
\[
u'(x)= -1
\]
Ableitung von \(v(x)=\sin x\):
Merksatz: \((\sin x)’=\cos x\).
\[
v'(x)=\cos x
\]
4) Produktregel einsetzen
Jetzt in \((u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v’\) einsetzen:
\[
f'(x)=u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)
\]
\[
f'(x)=(-1)\cdot \sin x + (6-x)\cdot \cos x
\]
5) Vereinfachen
\((-1)\cdot \sin x\) schreibt man einfach als \(-\sin x\). Damit erhält man:
\[
f'(x)= -\sin x + (6-x)\cdot \cos x
\]
Tipps zum schnelleren Lösen
- Immer zuerst erkennen: Produkt \(\Rightarrow\) Produktregel.
- Schreibe \(u\) und \(v\) sauber hin und leite sie getrennt ab – das verhindert Vorzeichenfehler.
- Besonders aufpassen bei \(6-x\): Die Ableitung ist \(-1\), nicht \(+1\).
(Hinweis: Du hast als korrekte Ableitung bereits genau diesen Ausdruck angegeben.)