Thema: Ableitung (Formelsammlung) – Kettenregel
Lösung
Gegeben ist die Funktion:
\[
f(x)=\cos(10x^3)
\]
1) Struktur erkennen (äußere und innere Funktion)
Die Funktion ist eine Verkettung (Komposition). Man kann sie so lesen:
- Äußere Funktion: \(\cos(u)\)
- Innere Funktion: \(u(x)=10x^3\)
2) Kettenregel anwenden
Die Kettenregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\cos(u(x)) = -\sin(u(x))\cdot u'(x)
\]
Übertragen auf diese Aufgabe ergibt das zunächst:
\[
f'(x) = -\sin(10x^3)\cdot \frac{d}{dx}(10x^3)
\]
3) Innere Ableitung berechnen
Jetzt wird \(u(x)=10x^3\) abgeleitet. Dabei gilt:
- Konstantenfaktorregel: \(\frac{d}{dx}(10\cdot x^3)=10\cdot \frac{d}{dx}(x^3)\)
- Potenzregel: \(\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2\)
Also:
\[
\frac{d}{dx}(10x^3)=10\cdot 3x^2
\]
4) Alles zusammensetzen
Setze das in die Kettenregel-Form ein:
\[
f'(x) = -\sin(10x^3)\cdot (10\cdot 3x^2)
\]
Tipp zum Vereinfachen: Multipliziere die Faktoren außerhalb der Sinus-Funktion zusammen
(also nur die Zahl und den \(x\)-Term), der Sinus-Teil bleibt unverändert.
Tipps, um solche Aufgaben schneller zu lösen
- Schreibe immer zuerst \(u(x)=\dots\) hin. Dann ist klar, was „innen“ steckt.
- Merke dir: \(\frac{d}{dx}\cos(\,\cdot\,) = -\sin(\,\cdot\,)\) (Minuszeichen nicht vergessen!).
- Die innere Funktion wird nicht verändert, sie wird nur zusätzlich in \(-\sin(\text{innen})\) eingesetzt und dann mit \(u'(x)\) multipliziert.
(Die angegebene Musterlösung lautet: \(-30x^2\sin(10x^3)\). Versuche, aus dem letzten Term oben
durch Zusammenfassen genau diese Form zu erhalten.)