48a² – 72ab + 27b² = ____

Vereinfachen mit binomischer Formel

Lösung

---

Gegeben ist der Ausdruck: \(48a^2 – 72ab + 27b^2\).

Wir sollen diesen Ausdruck mit einer binomischen Formel vereinfachen.

Schritte zur Lösung:

1. Identifizieren der binomischen Formel:
   Der Ausdruck hat die Form \(A^2 – 2AB + B^2\), was auf die zweite binomische Formel
   \((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\) hinweist.
2. Bestimmen von \(A\) und \(B\):
   – Der erste Term \(48a^2\) entspricht \(A^2\). Um \(A\) zu finden, ziehen wir die Quadratwurzel:
   \[A = \sqrt{48}a = \sqrt{16 \cdot 3}a = 4\sqrt{3}a.\]
   – Der letzte Term \(27b^2\) entspricht \(B^2\). Um \(B\) zu finden, ziehen wir die Quadratwurzel:
   \[B = \sqrt{27}b = \sqrt{9 \cdot 3}b = 3\sqrt{3}b.\]
3. Prüfen des Mittels Terms:
   Der mittlere Term sollte \(2AB\) entsprechen:
   \[
   2AB = 2 \cdot (4\sqrt{3}a) \cdot (3\sqrt{3}b) = 2 \cdot 12ab = 24ab.
   \]
   Dies passt nicht zu \(72ab\). Wir müssen die Zahlen nochmals prüfen:
   
   Es scheint, dass wir den falschen Ansatz hatten. Probieren wir es mit \(A = 4a\) und \(B = 3b\).
4. Richtige Identifikation von \(A\) und \(B\):
   – Setzen wir \(A = 4a\) und \(B = 3b\), dann ist der mittlere Term:
   \[
   2AB = 2 \cdot (4a) \cdot (3b) = 24ab.
   \]
   Dies stimmt mit \(72ab\) überein, wenn wir alles durch 3 multiplizieren.
5. Faktor herausziehen:
   Wir bemerken, dass alle Terme durch 3 teilbar sind. Also:
   \[
   48a^2 – 72ab + 27b^2 = 3(16a^2 – 24ab + 9b^2).
   \]
6. Binomische Formel anwenden:
   Nun können wir die binomische Formel anwenden:
   \[
   16a^2 – 24ab + 9b^2 = (4a – 3b)^2.
   \]
7. Vereinfachter Ausdruck:
   Der vereinfachte Ausdruck ist:
   \[
   3(4a – 3b)^2.
   \]

Ein Tipp für die Zukunft: Achten Sie darauf, den gemeinsamen Faktor in allen Termen zu erkennen, um die Berechnungen zu vereinfachen.