Aufgabe: Wurzeln rationalisieren (Nenner ohne Wurzel)
Lösung
Gegeben: \(\frac{4}{3+\sqrt{2}}\)
Ziel ist, die Wurzel im Nenner zu entfernen. Das macht man, indem man mit dem
Konjugierten des Nenners multipliziert.
Zum Ausdruck \(3+\sqrt{2}\) gehört als Konjugiertes \(3-\sqrt{2}\).
Schritt 1: Mit dem Konjugierten erweitern
\[
\frac{4}{3+\sqrt{2}}
\;=\;
\frac{4}{3+\sqrt{2}} \cdot \frac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}
\]
Wichtig: Wir multiplizieren mit \(\frac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} = 1\), also ändert sich der Wert des Bruchs nicht.
Schritt 2: Zähler ausmultiplizieren
\[
\frac{4(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}
\]
Im Zähler:
\[
4(3-\sqrt{2}) = 12 – 4\sqrt{2}
\]
Schritt 3: Nenner mit binomischer Formel (Differenz von Quadraten)
Im Nenner steht ein Produkt aus Konjugierten:
\[
(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})
\]
Das ist die bekannte Regel:
\[
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
\]
mit \(a=3\) und \(b=\sqrt{2}\).
Also:
\[
(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2}) = 3^2 – (\sqrt{2})^2 = 9 – 2
\]
\[
9-2 = 7
\]
Schritt 4: Alles zusammensetzen
Damit erhältst du:
\[
\frac{4}{3+\sqrt{2}}
\;=\;
\frac{12 – 4\sqrt{2}}{7}
\]
Tipps zum schnelleren Lösen
-
Bei Nennern der Form Zahl \(\pm\) Wurzel fast immer direkt an das
Konjugierte denken: Vorzeichen in der Mitte wechseln. -
Merke dir besonders: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Damit verschwindet die Wurzel im Nenner sofort,
weil \((\sqrt{x})^2=x\) ist. - Rechne den Nenner am besten immer zuerst als \(a^2-b^2\) aus, dann wird es übersichtlicher.
Hinweis: Die angegebene richtige Lösung lautet \(\frac{12 – 4\sqrt{2}}{7}\).
Vergleiche deine Zwischenschritte damit, um zu prüfen, ob du korrekt erweitert und vereinfacht hast.