$$ \frac{12}{3 – \sqrt{6}} $$

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Wurzeln Rationalisieren mit binomischen Formeln

Lösung

Um den Ausdruck \(\frac{12}{3 – \sqrt{6}}\) zu rationalisieren, verwenden wir die binomische Formel. Das Ziel ist es, die Wurzel im Nenner zu beseitigen.

Schritte zur Lösung:

  1. Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners. Der konjugierte Ausdruck von \(3 – \sqrt{6}\) ist \(3 + \sqrt{6}\).

    Also multiplizieren wir:

    \[
    \frac{12}{3 – \sqrt{6}} \times \frac{3 + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}}
    \]

  2. Multiplizieren wir die Zähler:

    \[
    12 \times (3 + \sqrt{6}) = 12 \times 3 + 12 \times \sqrt{6} = 36 + 12\sqrt{6}
    \]

  3. Jetzt wenden wir die dritte binomische Formel auf den Nenner an:

    \[
    (3 – \sqrt{6})(3 + \sqrt{6}) = 3^2 – (\sqrt{6})^2 = 9 – 6 = 3
    \]

  4. Setzen wir nun die Ergebnisse zusammen:

    \[
    \frac{36 + 12\sqrt{6}}{3}
    \]

  5. Jetzt teilen wir den Zähler durch den Nenner:

    • \(36 \div 3 = 12\)
    • \(12\sqrt{6} \div 3 = 4\sqrt{6}\)

    Also erhalten wir:

    \[
    12 + 4\sqrt{6}
    \]

Tipps:

  • Denke daran, dass das Multiplizieren mit dem konjugierten Ausdruck eine gängige Methode ist, um Wurzeln im Nenner zu beseitigen.
  • Die Anwendung der binomischen Formeln kann oft die Berechnungen vereinfachen, besonders wenn es um Wurzeln geht.

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