Wurzeln rationalisieren mit binomischen Formeln
Lösung
Wir haben den Bruch:
\(\frac{28}{\sqrt{26} + \sqrt{19}}\)
Um den Nenner zu rationalisieren, multiplizieren wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners. Das konjugierte Wert von \(\sqrt{26} + \sqrt{19}\) ist \(\sqrt{26} – \sqrt{19}\).
Das bedeutet, wir multiplizieren mit:
\(\frac{\sqrt{26} – \sqrt{19}}{\sqrt{26} – \sqrt{19}}\)
Jetzt multiplizieren wir die Ausdrücke:
Zähler: \(28 \times (\sqrt{26} – \sqrt{19}) = 28\sqrt{26} – 28\sqrt{19}\)
Nenner: \((\sqrt{26} + \sqrt{19})(\sqrt{26} – \sqrt{19})\)
Hier verwenden wir die dritte binomische Formel: \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\).
Setzen wir die Werte ein:
\(\sqrt{26}^2 – \sqrt{19}^2 = 26 – 19 = 7\)
Der neue Bruch lautet:
\(\frac{28\sqrt{26} – 28\sqrt{19}}{7}\)
Jetzt können wir den Bruch vereinfachen, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen:
\(\frac{28\sqrt{26}}{7} – \frac{28\sqrt{19}}{7} = 4\sqrt{26} – 4\sqrt{19}\)
Das ist die rationalisierte Form des Bruchs.
Tipp: Beim Rationalisieren von Wurzeln ist es oft hilfreich, die binomischen Formeln zu verwenden, um den Nenner in eine rationalere Form zu bringen.