Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Aufgabe: Löse die Gleichung -2x2 + 6x + 8 = 0 mit der pq-Formel.
Gegeben (Kontrolle): p = -3, q = -4
1) Gleichung in die Normalform für die pq-Formel bringen
Die pq-Formel gilt für Gleichungen der Form:
x2 + px + q = 0
Deine Gleichung lautet:
-2x2 + 6x + 8 = 0
Damit vorne bei x2 eine 1 steht, teilen wir die ganze Gleichung durch -2:
-2x2 / (-2) + 6x / (-2) + 8 / (-2) = 0 / (-2)
⇒ x2 – 3x – 4 = 0
2) p und q ablesen
Vergleiche x2 – 3x – 4 = 0 mit x2 + px + q = 0.
- Hier ist p = -3
- und q = -4
Das passt genau zu den angegebenen Werten.
3) pq-Formel anwenden
Die pq-Formel lautet:
x = -½p ± √((½p)2 – q)
Setze nun p = -3 und q = -4 ein:
Schritt A: -½p berechnen
-½ · p = -½ · (-3)
⇒ -½p = &frac32;
Schritt B: Ausdruck unter der Wurzel berechnen
(½p)2 – q = (½ · (-3))2 – (-4)
= (-&frac32;)2 + 4
= &frac{9}{4} + 4
Tipp: Schreibe 4 als Bruch mit Nenner 4: 4 = &frac{16}{4}
⇒ &frac{9}{4} + &frac{16}{4} = &frac{25}{4}
Schritt C: Wurzel ziehen
√(&frac{25}{4}) = √(25) / √(4)
= 5 / 2
4) Zwei Lösungen aufschreiben (ohne auszurechnen)
Jetzt setzt du alles in
x = -½p ± √((½p)2 – q)
ein:
x = &frac32; ± &frac52;
Daraus entstehen zwei Werte:
- x1 = &frac32; + &frac52;
- x2 = &frac32; – &frac52;
Tipps zum leichteren Rechnen
-
Brüche addierst/subtrahierst du am einfachsten, wenn sie den gleichen Nenner haben
(hier z.B. alles auf Viertel oder Halbe bringen). - Achte besonders auf Vorzeichen: -q bedeutet, dass sich bei negativem q ein Plus ergibt.
-
Eine kurze Kontrolle ist möglich, indem du die Lösungen später in x2 – 3x – 4 einsetzt
und prüfst, ob 0 herauskommt.
Wenn du möchtest, kannst du jetzt die beiden Ausdrücke für x1 und x2
noch zu ganzen Zahlen zusammenfassen.