Thema: PQ-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Aufgabe
Löse die Gleichung:
\(x^2 + 2x – 15 = 0\)
Gegeben: \(p=2,\; q=-15\)
1) Prüfen, ob die PQ-Form passt
Die PQ-Formel gilt für Gleichungen der Form
\(x^2 + px + q = 0\).
Deine Gleichung lautet \(x^2 + 2x – 15 = 0\). Das passt direkt:
- \(p = 2\)
- \(q = -15\)
2) PQ-Formel aufschreiben
Die PQ-Formel lautet:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}
\]
3) Werte einsetzen
Setze \(p=2\) und \(q=-15\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 – (-15)}
\]
4) Schrittweise vereinfachen
Zuerst die einfachen Brüche:
\[
-\frac{2}{2} = -1
\quad\text{und}\quad
\frac{2}{2} = 1
\]
Damit wird der Ausdruck:
\[
x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1^2 – (-15)}
\]
Jetzt beachte: „minus minus“ wird „plus“:
\[
1^2 – (-15) = 1^2 + 15
\]
Und \(1^2 = 1\), also:
\[
x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 + 15}
\]
5) Wurzelterm ausrechnen (ohne Endergebnis auszuschreiben)
Addiere im Wurzelinneren:
\[
1 + 15 = 16
\]
Dann steht dort \(\sqrt{16}\). Überlege dir nun, welche Zahl quadriert \(16\) ergibt.
Setze diese Zahl anschließend in
\[
x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{16}
\]
ein und bilde daraus die beiden Lösungen (einmal mit „+“, einmal mit „−“).
Tipps zum leichteren Rechnen
- Merke dir: \(-(-15)=+15\). Das ist eine typische Fehlerquelle.
- Rechne zuerst immer \(\frac{p}{2}\) aus, bevor du weiter einsetzt.
-
Wenn unter der Wurzel eine Quadratzahl steht (wie \(16\)),
wird es besonders einfach, weil die Wurzel dann eine ganze Zahl ist.
(Kontrolle: Du hast als richtige Werte \(p=2\) und \(q=-15\) angegeben – das stimmt für diese Gleichung.)