Thema: PQ-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben ist die Gleichung:
\(3x^2 – 3x – 18 = 0\)
1) In die Normalform der PQ-Formel bringen
Die PQ-Formel gilt für Gleichungen der Form
\(x^2 + px + q = 0\).
Dafür muss der Koeffizient vor \(x^2\) gleich 1 sein.
Teile deshalb die ganze Gleichung durch 3:
\(\dfrac{3x^2 – 3x – 18}{3} = 0\)
Jetzt jeden Term einzeln durch 3 teilen:
\(x^2 – x – 6 = 0\)
2) p und q ablesen
Vergleiche \(x^2 – x – 6 = 0\) mit \(x^2 + px + q = 0\):
- Der \(x\)-Term ist \(-x\), also ist \(p = -1\).
- Der konstante Term ist \(-6\), also ist \(q = -6\).
Das passt zu den angegebenen Werten: \(p=-1,\; q=-6\).
3) PQ-Formel aufschreiben und einsetzen
Die PQ-Formel lautet:
\(x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 – q}\)
Setze \(p=-1\) und \(q=-6\) ein:
\(x_{1,2} = -\dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2 – (-6)}\)
4) Schrittweise vereinfachen (ohne Endergebnis auszurechnen)
Vereinfache zuerst den Teil vor dem Wurzelzeichen:
\(-\dfrac{-1}{2} = \dfrac{1}{2}\)
Jetzt den Ausdruck unter der Wurzel:
- \(\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\) (weil beim Quadrieren das Minus verschwindet)
- \(-(-6) = +6\)
Damit steht unter der Wurzel:
\(\dfrac{1}{4} + 6\)
Tipp zum leichteren Rechnen: Schreibe \(6\) als Viertel, damit du addieren kannst:
\(6 = \dfrac{24}{4}\).
Dann wird daraus:
\(\dfrac{1}{4} + \dfrac{24}{4}\)
Jetzt kannst du den Wurzelausdruck weiter zusammenfassen und danach die beiden Lösungen
mit „\(+\)“ und „\(-\)“ aufschreiben. (Den letzten Zahlenwert lasse ich hier absichtlich offen.)
Kontroll-Tipp
Wenn du am Ende zwei Werte für \(x\) hast, kannst du jeden davon in
\(x^2 – x – 6\) einsetzen und prüfen, ob wirklich \(0\) herauskommt.
So findest du Rechenfehler schnell.