Thema: PQ-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Aufgabe
Löse die Gleichung: \(x^2 – 9x + 14 = 0\).
Gegeben (laut Angabe): \(p=-9,\; q=14\).
1) Gleichung in die passende Form bringen
Die PQ-Formel gilt für Gleichungen der Form
\(x^2 + px + q = 0\).
Unsere Gleichung lautet:
\(x^2 – 9x + 14 = 0\).
Das ist bereits die richtige Form, denn der Koeffizient vor \(x^2\) ist \(1\).
2) p und q richtig ablesen
Vergleiche \(x^2 – 9x + 14 = 0\) mit \(x^2 + px + q = 0\):
- Vor \(x\) steht \(-9\), also ist \(p = -9\).
- Der konstante Term ist \(14\), also ist \(q = 14\).
Tipp: Das Vorzeichen bei \(p\) ist besonders wichtig. Hier ist es „minus 9“, also \(p\) negativ.
3) PQ-Formel aufschreiben
Die PQ-Formel lautet:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}
\]
4) Werte einsetzen (noch ohne Endergebnis auszurechnen)
Setze \(p=-9\) und \(q=14\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{-9}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^2 – 14}
\]
5) Schrittweise vereinfachen
Zuerst der Teil vor dem Wurzelzeichen:
\[
-\frac{-9}{2} = \frac{9}{2}
\]
Jetzt der Ausdruck unter der Wurzel:
\[
\left(\frac{-9}{2}\right)^2 = \frac{(-9)^2}{2^2} = \frac{81}{4}
\]
Damit wird der Wurzelausdruck:
\[
\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q = \frac{81}{4} – 14
\]
Tipp zum Kopfrechnen: Schreibe \(14\) als Bruch mit Nenner \(4\), damit du subtrahieren kannst:
\[
14 = \frac{14\cdot 4}{4} = \frac{56}{4}
\]
Dann kannst du
\(\frac{81}{4} – \frac{56}{4}\)
als Bruchdifferenz rechnen.
6) Ergebnisform (ohne die endgültigen Lösungen auszuschreiben)
Nach dem Zusammenfassen unter der Wurzel erhältst du eine Form
\[
x_{1,2} = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\;\text{(Zahl)}\;}
\]
und daraus dann zwei Werte:
\[
x_1 = \frac{9}{2} + \sqrt{\;\text{(Zahl)}\;}, \qquad
x_2 = \frac{9}{2} – \sqrt{\;\text{(Zahl)}\;}
\]
Kontroll-Tipp
Wenn du beide Lösungen hast, kannst du sie zur Kontrolle in
\(x^2 – 9x + 14\) einsetzen. Bei einer richtigen Lösung muss am Ende \(0\) herauskommen.