Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben ist die Gleichung:
\(2x^2 + 8x + 6 = 0\)
1) In die Normalform für die pq-Formel bringen
Die pq-Formel gilt für Gleichungen der Form
\(x^2 + px + q = 0\).
Deshalb muss vor \(x^2\) eine 1 stehen.
Teile die ganze Gleichung durch 2:
\[
\frac{2x^2}{2} + \frac{8x}{2} + \frac{6}{2} = 0
\]
\[
x^2 + 4x + 3 = 0
\]
Jetzt kann man direkt ablesen:
\[
p = 4,\quad q = 3
\]
(Das passt auch zu der angegebenen Lösung.)
2) pq-Formel aufschreiben
Für \(x^2 + px + q = 0\) lautet die pq-Formel:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}
\]
3) Werte einsetzen
Setze \(p=4\) und \(q=3\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 – 3}
\]
Vereinfache Schritt für Schritt:
\[
-\frac{4}{2} = -2
\]
\[
\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = 4
\]
Damit steht unter der Wurzel:
\[
4 – 3 = 1
\]
Also:
\[
x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{1}
\]
4) Letzter Schritt (ohne Endergebnis auszurechnen)
Da \(\sqrt{1}\) eine sehr einfache Zahl ist, kannst du nun die beiden Fälle bilden:
- \(x_1 = -2 + \sqrt{1}\)
- \(x_2 = -2 – \sqrt{1}\)
Tipps
- Immer zuerst normieren: Wenn vor \(x^2\) nicht 1 steht, zuerst durch den Leitkoeffizienten teilen.
- Sauber mit Klammern arbeiten: Besonders bei \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\) passieren sonst schnell Fehler.
- Wurzelterm prüfen: \(\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q\) entscheidet, ob es zwei, eine oder keine reellen Lösungen gibt.