Thema: Stammfunktionen einfacher Funktionen
Lösung
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion
\( f(x)=\frac{4}{x^3} \)
Gesucht ist eine Stammfunktion \(F(x)\), also eine Funktion mit \(F'(x)=f(x)\).
Schritt 1: Funktion als Potenz schreiben
Damit man die Potenzregel fürs Integrieren anwenden kann, schreibt man den Bruch als Potenz:
\[
\frac{4}{x^3} = 4 \cdot x^{-3}
\]
Schritt 2: Konstante ausklammern
Die 4 ist eine Konstante und kann beim Integrieren „mitgenommen“ werden:
\[
\int 4\cdot x^{-3}\,dx = 4\int x^{-3}\,dx
\]
Schritt 3: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet (für \(n\neq -1\)):
\[
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
\]
Hier ist \(n=-3\). Dann ist \(n+1=-2\). Setze das ein:
\[
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C
\]
Schritt 4: Mit der 4 multiplizieren und vereinfachen
Jetzt wieder mit der 4 von vorhin multiplizieren:
\[
4\cdot \left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) + C
\]
Vereinfache den Zahlenfaktor \(4\cdot \frac{1}{-2}\):
\[
\left(4\cdot \frac{1}{-2}\right)x^{-2} + C
\]
Kontrolle (Tipp)
Um zu prüfen, ob deine Stammfunktion stimmt, leite dein Ergebnis ab.
Wenn du wieder \(4x^{-3}\) (also \(\frac{4}{x^3}\)) erhältst, ist es korrekt.
Hinweis zum gegebenen Lösungsformat
Die angegebene korrekte Stammfunktion hat die Form \(F(x)=-2x^{-2}+C\).
Du kannst dein vereinfachtes Ergebnis am Ende in genau diese Form bringen, indem du die Faktoren passend zusammenfasst.
Wichtig: Ich lasse das Endergebnis hier bewusst offen, damit du den letzten Vereinfachungsschritt selbst durchführen kannst.