PQ-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben ist die Gleichung:
\(x^2 – 8x + 12 = 0\)
Diese Gleichung ist bereits in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\).
1) p und q ablesen
Vergleiche:
\(x^2 + px + q = 0\)
mit
\(x^2 – 8x + 12 = 0\)
Dann gilt:
- \(p = -8\)
- \(q = 12\)
2) PQ-Formel aufschreiben
Die PQ-Formel lautet:
\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}\)
3) Werte einsetzen
Zuerst berechnen wir die Teile der Formel Schritt für Schritt.
a) \(-\frac{p}{2}\)
\[
-\frac{p}{2} = -\frac{-8}{2}
\]
Hier ist wichtig: Minus mal Minus ergibt Plus.
Also wird daraus:
\[
-\frac{-8}{2} = \frac{8}{2}
\]
b) \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
\[
\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{-8}{2}\right)^2
\]
Zuerst \(\frac{-8}{2}\) vereinfachen, dann quadrieren:
\[
\left(\frac{-8}{2}\right)^2 = \left(-4\right)^2
\]
Beim Quadrieren wird das Ergebnis positiv:
\[
(-4)^2 = 16
\]
c) Ausdruck unter der Wurzel
\[
\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q = 16 – 12
\]
Diesen Term kannst du jetzt ohne Hilfsmittel ausrechnen und erhältst eine kleine Zahl.
(Genau diesen Wert brauchst du gleich unter der Wurzel.)
4) Lösungen als Termform notieren
Setze nun alles in die PQ-Formel ein:
\[
x_{1,2} = \left(\text{Ergebnis aus } -\frac{p}{2}\right)
\pm \sqrt{\left(\text{Ergebnis aus } \left(\frac{p}{2}\right)^2 – q\right)}
\]
Jetzt musst du nur noch:
- den Wurzelausdruck vereinfachen (also die Wurzel aus der Zahl ziehen),
- und dann einmal mit „+“ und einmal mit „−“ rechnen.
Tipps zum leichteren Rechnen
- Vorzeichen beachten: Besonders bei \(-\frac{p}{2}\) passieren häufig Fehler.
- Erst vereinfachen, dann quadrieren: \(\left(\frac{-8}{2}\right)^2\) ist viel leichter als erst zu quadrieren.
- Wurzel prüfen: Wenn unter der Wurzel eine Quadratzahl steht (z.B. 1, 4, 9, 16, …), ist das Ziehen der Wurzel einfach.
Wenn du möchtest, kannst du mir deine beiden berechneten Werte für „unter der Wurzel“ und für \(-\frac{p}{2}\) schicken,
dann kann ich prüfen, ob deine Zwischenschritte stimmen, ohne das Endergebnis vorwegzunehmen.