Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben ist die Gleichung:
3x2 – 6x – 9 = 0
1) In die Normalform für die pq-Formel bringen
Die pq-Formel gilt für Gleichungen der Form
x2 + px + q = 0.
Deshalb muss vor x2 eine 1 stehen.
Teile die ganze Gleichung durch 3:
3x2 – 6x – 9 = 0
:3 :3 :3
x2 – 2x – 3 = 0
Jetzt kannst du direkt ablesen:
p = -2 und q = -3.
(Das passt auch zu der angegebenen Kontrolle.)
2) pq-Formel aufschreiben
Für x2 + px + q = 0 gilt:
x = -½p ± √((½p)2 – q)
3) p und q einsetzen
Setze p = -2 und q = -3 ein:
x = -½·(-2) ± √((½·(-2))2 – (-3))
4) Schrittweise vereinfachen
Vereinfache zuerst den Teil vor der Wurzel:
-½·(-2) = 1
Jetzt den Ausdruck in der Wurzel:
(½·(-2)) = -1
(-1)2 = 1
1 – (-3) = 1 + 3
Damit steht:
x = 1 ± √(1 + 3)
5) Letzter Rechenschritt (ohne Endergebnis auszuschreiben)
Rechne nun im Wurzelterm 1 + 3 aus und ziehe die Wurzel.
Danach erhältst du zwei Lösungen:
- x1 = 1 + (Wurzelwert)
- x2 = 1 – (Wurzelwert)
Tipps
- Immer zuerst normieren: Wenn vor x2 nicht 1 steht, immer durch den Leitkoeffizienten teilen.
- Vorzeichen beachten: Besonders bei -q bzw. -(-3) passieren oft Fehler.
- Zwischenschritte notieren: Das hilft, wenn du später kontrollieren willst, wo ein Fehler entstanden ist.