Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Aufgabe
Löse die Gleichung:
\(x^2-\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}=0\)
Gegeben: \(p=-\frac{4}{3}\), \(q=-\frac{5}{3}\)
1) Form erkennen
Die pq-Formel gilt für Gleichungen der Form
\(x^2 + px + q = 0\).
Unsere Gleichung lautet:
\(x^2-\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}=0\).
Das passt direkt, denn der Koeffizient vor \(x^2\) ist schon \(1\).
Also sind tatsächlich:
\(p=-\frac{4}{3}\) und \(q=-\frac{5}{3}\).
2) pq-Formel aufschreiben
Die pq-Formel lautet:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}.
\]
3) Schrittweise einsetzen
Zuerst berechnen wir den Teil \(-\frac{p}{2}\):
\[
-\frac{p}{2} = -\frac{-\frac{4}{3}}{2}.
\]
Tipp: „Durch 2 teilen“ heißt „mit \(\frac{1}{2}\) multiplizieren“:
\[
-\frac{-\frac{4}{3}}{2} = -\left(-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}\right).
\]
Kürze/vereinfache dann den Bruch:
\[
-\left(-\frac{4}{6}\right).
\]
Als Nächstes brauchen wir den Ausdruck unter der Wurzel:
\[
\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q.
\]
Berechne zuerst \(\frac{p}{2}\):
\[
\frac{p}{2} = \frac{-\frac{4}{3}}{2} = -\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2} = -\frac{4}{6}.
\]
Dann quadrieren:
\[
\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(-\frac{4}{6}\right)^2.
\]
Tipp: Beim Quadrieren wird ein Minuszeichen positiv, und man quadriert Zähler und Nenner:
\[
\left(-\frac{4}{6}\right)^2 = \frac{4^2}{6^2}.
\]
Jetzt kommt „\(-q\)“ dazu:
\[
\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q = \frac{4^2}{6^2} – \left(-\frac{5}{3}\right).
\]
Tipp: Minus minus wird plus:
\[
\frac{4^2}{6^2} + \frac{5}{3}.
\]
Um das zusammenzufassen, brauchst du einen gemeinsamen Nenner.
Da \(6^2 = 36\) ist, bietet sich an, \(\frac{5}{3}\) auf den Nenner \(36\) zu bringen.
(Überlege: Mit welcher Zahl muss man \(3\) multiplizieren, um \(36\) zu erhalten?)
4) Wurzel ziehen und Lösungen angeben
Wenn du den Term unter der Wurzel als einen einzigen Bruch vereinfacht hast, ziehst du die Wurzel:
\[
\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}.
\]
Danach setzt du alles in
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}
\]
ein und erhältst zwei Werte (durch „\(+\)“ und „\(-\)“).
Tipps zum leichteren Rechnen (ohne Taschenrechner)
- Brüche früh kürzen (z.B. \(\frac{4}{6}\) lässt sich vereinfachen).
- Bei \(-(-a)\) sofort zu \(+a\) umschreiben, damit keine Vorzeichenfehler passieren.
- Beim Addieren von Brüchen zuerst einen passenden gemeinsamen Nenner suchen.
- Quadrate wie \(4^2\), \(6^2\) und einfache Wurzeln auswendig/übersichtlich berechnen.
Wenn du möchtest, kannst du mir deinen vereinfachten Wurzelausdruck schicken, dann kann ich prüfen,
ob die Umformungen bis dahin stimmen (ohne dir das Endergebnis vorwegzunehmen).