Thema: PQ-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Aufgabe
Löse die Gleichung:
\(x^2 + 10x + 21 = 0\)
Gegeben: \(p=10,\; q=21\)
1) Prüfen, ob die PQ-Formel anwendbar ist
Die PQ-Formel benutzt man für Gleichungen der Form
\(x^2 + px + q = 0\).
Deine Gleichung \(x^2 + 10x + 21 = 0\) ist genau in dieser Form.
Also gilt hier: \(p=10\) und \(q=21\).
2) PQ-Formel aufschreiben
Die PQ-Formel lautet:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}
\]
3) Werte einsetzen
Setze \(p=10\) und \(q=21\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 – 21}
\]
4) Schrittweise vereinfachen
a) Den Term vor dem Wurzelzeichen berechnen
\[
-\frac{10}{2} = -5
\]
b) Den Ausdruck in der Wurzel vereinfachen
Zuerst \(\frac{10}{2} = 5\), dann quadrieren:
\[
\left(\frac{10}{2}\right)^2 = 5^2 = 25
\]
Jetzt \(q\) abziehen:
\[
25 – 21 = 4
\]
c) Wurzel ziehen
\[
\sqrt{4} = 2
\]
5) Zwei Lösungen als Terme aufschreiben (ohne Endergebnis auszurechnen)
Damit steht:
\[
x_{1,2} = -5 \pm 2
\]
Also erhältst du die beiden Lösungs-Ausdrücke:
- \(x_1 = -5 + 2\)
- \(x_2 = -5 – 2\)
Tipps zum leichteren Lösen
- Rechne zuerst immer \(\frac{p}{2}\) aus (hier also \(10:2\)), weil es in der Formel zweimal vorkommt.
- Achte besonders auf das Minuszeichen in der Formel: \(-\frac{p}{2}\) ist oft eine Fehlerquelle.
- Wenn unter der Wurzel eine kleine Zahl wie \(4, 9, 16, 25\) entsteht, ist das meist ein Hinweis auf „schöne“ Lösungen.
Wenn du möchtest, kannst du als Kontrolle am Ende (nachdem du die beiden Werte ausgerechnet hast)
jeden Wert in \(x^2 + 10x + 21\) einsetzen und prüfen, ob wirklich \(0\) herauskommt.