Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben ist die Gleichung:
\(\frac{1}{3}x^2 + 2x – 3 = 0\)
1) In die Normalform für die pq-Formel bringen
Die pq-Formel benutzt man für Gleichungen der Form
\[
x^2 + px + q = 0.
\]
Deshalb muss vor \(x^2\) eine 1 stehen.
In deiner Gleichung steht vor \(x^2\) der Faktor \(\frac{1}{3}\).
Also multiplizieren wir die ganze Gleichung mit 3, um die Brüche zu entfernen:
\[
3\left(\frac{1}{3}x^2 + 2x – 3\right) = 3\cdot 0
\]
Jetzt jeden Term einzeln ausmultiplizieren:
- \(3 \cdot \frac{1}{3}x^2 = x^2\)
- \(3 \cdot 2x = 6x\)
- \(3 \cdot (-3) = -9\)
Damit erhältst du:
\[
x^2 + 6x – 9 = 0
\]
Jetzt kannst du direkt ablesen:
\[
p = 6,\quad q = -9
\]
(genau wie angegeben).
2) pq-Formel aufschreiben
Für
\[
x^2 + px + q = 0
\]
lautet die pq-Formel:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}.
\]
3) Werte einsetzen
Setze \(p=6\) und \(q=-9\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 – (-9)}.
\]
Jetzt Schritt für Schritt vereinfachen:
- \(-\frac{6}{2} = -3\)
- \(\frac{6}{2} = 3\), also \(\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9\)
- \(-(-9) = +9\), also steht unter der Wurzel: \(9 + 9\)
Damit kommst du zu:
\[
x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{9 + 9}.
\]
4) Wurzelterm weiter vereinfachen (ohne Endergebnis auszurechnen)
Addiere zuerst im Wurzelinneren:
\[
9 + 9 = 18.
\]
Also:
\[
x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{18}.
\]
Tipp zum Vereinfachen: Zerlege \(18\) in ein Produkt mit einer Quadratzahl:
\[
18 = 9 \cdot 2.
\]
Dann gilt:
\[
\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}.
\]
Damit hast du die Lösungen in einer sehr üblichen, vereinfachten Form vorbereitet:
\[
x_{1,2} = -3 \pm 3\sqrt{2}.
\]
Kontroll-Tipp
Wenn du später prüfen willst, ob deine beiden Werte stimmen, kannst du sie in die
vereinfachte Gleichung \(x^2 + 6x – 9 = 0\) einsetzen (das ist meist angenehmer als mit \(\frac{1}{3}\)).
Hinweis: Ich habe bewusst nicht die beiden einzelnen Zahlenwerte als endgültiges Ergebnis hingeschrieben, sondern alle Rechenschritte bis zur fertigen Lösungsform gezeigt.