Thema: PQ-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben
Die Gleichung lautet:
\[
x^2+\frac{11}{3}x+\frac{10}{3}=0
\]
Hier ist bereits die Normalform \(x^2+px+q=0\) erkennbar, also:
\[
p=\frac{11}{3},\qquad q=\frac{10}{3}.
\]
Schritt 1: PQ-Formel aufschreiben
Für
\[
x^2+px+q=0
\]
gilt die PQ-Formel:
\[
x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}.
\]
Schritt 2: \(p\) und \(q\) einsetzen
Setze \(p=\frac{11}{3}\) und \(q=\frac{10}{3}\) ein:
\[
x_{1,2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{3}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{3}\right)^2-\frac{10}{3}}.
\]
Das kann man auch direkt als Bruch schreiben:
\[
x_{1,2}=-\frac{11}{6}\pm\sqrt{\left(\frac{11}{6}\right)^2-\frac{10}{3}}.
\]
Schritt 3: Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) vereinfachen
Zuerst quadrieren:
\[
\left(\frac{11}{6}\right)^2=\frac{121}{36}.
\]
Jetzt:
\[
\frac{121}{36}-\frac{10}{3}.
\]
Damit du subtrahieren kannst, brauchst du einen gemeinsamen Nenner.
Der Nenner \(36\) ist praktisch, weil \(3\cdot 12=36\). Also:
\[
\frac{10}{3}=\frac{10\cdot 12}{3\cdot 12}=\frac{120}{36}.
\]
Dann:
\[
\frac{121}{36}-\frac{120}{36}=\frac{1}{36}.
\]
Also steht unter der Wurzel:
\[
\sqrt{\frac{1}{36}}.
\]
Schritt 4: Wurzel ziehen und in die Formel einsetzen
Es gilt:
\[
\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{1}{6}.
\]
Damit wird die Lösungsformel zu:
\[
x_{1,2}=-\frac{11}{6}\pm\frac{1}{6}.
\]
Schritt 5: Zwei Lösungen als zwei Rechnungen aufschreiben (ohne auszurechnen)
Jetzt entstehen zwei Werte:
-
Erste Lösung:
\[
x_1=-\frac{11}{6}+\frac{1}{6}
\] -
Zweite Lösung:
\[
x_2=-\frac{11}{6}-\frac{1}{6}
\]
Tipps
-
Prüfe immer zuerst, ob die Gleichung wirklich in der Form \(x^2+px+q=0\) steht.
Hier ist das direkt der Fall, weil vor \(x^2\) eine \(1\) steht. -
Beim Rechnen mit Brüchen ist ein gemeinsamer Nenner der wichtigste Schritt.
Oft ist es sinnvoll, den Nenner zu wählen, der beim Quadrieren entsteht (hier \(36\)). -
Wenn unter der Wurzel ein Bruch steht, kannst du oft direkt die Wurzel „oben und unten“ ziehen:
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (falls \(a,b\ge 0\)).