Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben
Gleichung: \(4x^2 + 4x – 8 = 0\)
Außerdem (nach dem Umformen): \(p = 1,\; q = -2\)
1) In die Normalform für die pq-Formel bringen
Die pq-Formel gilt für Gleichungen der Form
\[
x^2 + px + q = 0.
\]
Deshalb müssen wir zuerst dafür sorgen, dass vor \(x^2\) eine \(1\) steht.
Ausgangsgleichung:
\[
4x^2 + 4x – 8 = 0
\]
Teile die ganze Gleichung durch \(4\):
\[
\frac{4x^2}{4} + \frac{4x}{4} – \frac{8}{4} = 0
\]
Vereinfache:
\[
x^2 + x – 2 = 0
\]
Jetzt kann man direkt ablesen:
\[
p = 1,\quad q = -2,
\]
genau wie angegeben.
2) pq-Formel anwenden
Die pq-Formel lautet:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}.
\]
Setze \(p=1\) und \(q=-2\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 – (-2)}.
\]
3) Schrittweise den Term unter der Wurzel vereinfachen
Zuerst das Quadrat:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.
\]
Dann das Minus vor \(q\) beachten:
\[
-(-2) = +2.
\]
Also steht unter der Wurzel:
\[
\frac{1}{4} + 2.
\]
Tipp zum Addieren: Schreibe \(2\) als Viertel:
\[
2 = \frac{8}{4}.
\]
Dann:
\[
\frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4}.
\]
4) Wurzel vereinfachen
\[
\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}.
\]
5) Lösungen als Terme aufschreiben (ohne Endergebnis auszurechnen)
Setze das wieder in die pq-Formel ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}.
\]
Tipps
- Immer zuerst auf die Form \(x^2 + px + q = 0\) bringen (also durch den Leitkoeffizienten teilen).
- Bei \(-q\) besonders auf Vorzeichen achten: \(-(-2)\) wird zu \(+2\).
- Brüche unter der Wurzel lassen sich oft gut vereinfachen, wenn man alles auf einen gemeinsamen Nenner bringt.
Wenn du möchtest, kannst du jetzt die beiden Fälle „Plus“ und „Minus“ getrennt einsetzen und jeweils ausrechnen.
Danach kannst du zur Kontrolle einen der Werte in \(x^2 + x – 2\) einsetzen und prüfen, ob \(0\) herauskommt.