Thema: PQ-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben: \(4x^2 – 4x – 3 = 0\)
Kontrolle (angegeben): \(p=-1,\quad q=-\frac{3}{4}\)
1) Gleichung in die Normalform der PQ-Formel bringen
Die PQ-Formel verwendet die Form
\[
x^2 + px + q = 0.
\]
Deine Gleichung lautet aber
\[
4x^2 – 4x – 3 = 0.
\]
Damit vor \(x^2\) eine \(1\) steht, teilst du die ganze Gleichung durch \(4\):
\[
\frac{4x^2}{4} – \frac{4x}{4} – \frac{3}{4} = 0
\quad\Rightarrow\quad
x^2 – x – \frac{3}{4} = 0.
\]
2) \(p\) und \(q\) ablesen
Vergleiche
\[
x^2 – x – \frac{3}{4} = 0
\]
mit
\[
x^2 + px + q = 0.
\]
Dann ist der Koeffizient vor \(x\) gleich \(p\), und die Zahl ohne \(x\) ist \(q\).
Also:
\[
p = -1,\qquad q = -\frac{3}{4}.
\]
Das passt zu den angegebenen Werten.
3) PQ-Formel aufschreiben
Die PQ-Formel lautet:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}.
\]
4) Werte einsetzen (ohne endgültig auszurechnen)
Setze \(p=-1\) und \(q=-\frac{3}{4}\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2 – \left(-\frac{3}{4}\right)}.
\]
Jetzt kannst du Schritt für Schritt vereinfachen:
-
Vorne:
\[
-\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}.
\] -
Im Quadrat:
\[
\left(\frac{-1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.
\] -
Unter der Wurzel entsteht dann:
\[
\frac{1}{4} – \left(-\frac{3}{4}\right)
\]
(hier ist wichtig: „minus minus“ wird zu „plus“).
Tipps zum leichteren Rechnen
-
Schreibe Brüche immer mit gleichem Nenner, bevor du addierst oder subtrahierst
(hier bieten sich Viertel an). - Achte besonders auf Vorzeichen: \(-q\) bedeutet „das Gegenteil von \(q\)“.
-
Wenn unter der Wurzel ein Bruch steht, kannst du oft erst zusammenfassen und dann
(falls möglich) die Wurzel ziehen.
Wenn du möchtest, kannst du als nächsten Schritt den Ausdruck unter der Wurzel zu einem einzigen Bruch zusammenfassen
und prüfen, ob er eine „schöne“ Quadratwurzel ergibt. (Ich lasse hier bewusst das Endergebnis weg.)