$$ x^2 – 7 = 0 $$

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Thema: Quadratische Gleichungen der Form \(x^2 – q = 0\)

Lösung

Aufgabe: Löse die Gleichung \(x^2 – 7 = 0\).

Schritt-für-Schritt-Lösung

  1. Gleichung nach \(x^2\) umstellen

    Ausgangsgleichung: \(x^2 – 7 = 0\)

    Addiere auf beiden Seiten \(7\), damit links nur \(x^2\) steht:

    \[
    x^2 – 7 + 7 = 0 + 7
    \]

    Damit erhältst du:
    \[
    x^2 = 7
    \]

  2. Wurzel ziehen (beide Vorzeichen beachten!)

    Wenn \(x^2 = 7\), dann ist \(x\) eine Zahl, deren Quadrat \(7\) ergibt.
    Beim Wurzelziehen musst du immer zwei Lösungen berücksichtigen:

    \[
    x = \pm \sqrt{7}
    \]

    Das bedeutet: eine positive und eine negative Lösung.

  3. Lösungsmenge aufschreiben

    Du fasst beide Lösungen in einer Menge zusammen:

    \[
    L = \{ \sqrt{7};\,-\sqrt{7} \}
    \]

    (Hier sollst du die Lösung nur herleiten; das endgültige Ergebnis kannst du dann selbst eintragen.)

Tipps zum leichteren Lösen

  • Erkenne die Standardform: Bei \(x^2 – q = 0\) ist der erste Schritt fast immer:
    \(\;x^2 = q\).
  • Denke beim Wurzelziehen immer an zwei Lösungen: \(+\sqrt{q}\) und \(-\sqrt{q}\).
  • Eine kurze Kontrolle ist möglich: Setze gedanklich \(x=\sqrt{7}\) ein, dann ist \(x^2=7\) und \(7-7=0\).
    Genauso klappt es mit \(x=-\sqrt{7}\), weil auch \((-\sqrt{7})^2=7\) gilt.

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