Thema: Quadratische Gleichungen der Form \(x^2 – q = 0\)
Lösung
Aufgabe: Löse die Gleichung \(x^2 – 49 = 0\).
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Gleichung in die Form \(x^2 = q\) bringen
Ausgangsgleichung:
\[
x^2 – 49 = 0
\]
Addiere \(49\) auf beiden Seiten, damit links nur noch \(x^2\) steht:
\[
x^2 – 49 + 49 = 0 + 49
\]
Dadurch erhältst du:
\[
x^2 = 49
\]
2) Wurzel ziehen (zwei Lösungen beachten!)
Wenn \(x^2 = 49\), dann ist \(x\) die Zahl, deren Quadrat \(49\) ergibt.
Beim Wurzelziehen musst du immer an zwei Möglichkeiten denken:
\[
x = \pm \sqrt{49}
\]
3) Quadratwurzel ausrechnen
\(\sqrt{49}\) ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert \(49\) ergibt.
Da \(7 \cdot 7 = 49\), gilt:
\[
\sqrt{49} = 7
\]
Setze das ein:
\[
x = \pm 7
\]
4) Probe (kurz überprüfen)
Setze beide Werte in \(x^2 – 49\) ein:
-
Für \(x = 7\):
\[
7^2 – 49 = 49 – 49 = 0
\] -
Für \(x = -7\):
\[
(-7)^2 – 49 = 49 – 49 = 0
\]
Beide Werte erfüllen also die Gleichung.
Tipps zum schnelleren Lösen
- Merke dir: Bei \(x^2 = q\) ist die Lösung immer \(x = \pm \sqrt{q}\) (falls \(q \ge 0\)).
- Achte besonders auf das ±: Quadratische Gleichungen dieser Form haben meistens zwei Lösungen.
- Eine kurze Probe mit Einsetzen hilft, Vorzeichenfehler zu vermeiden.
Hinweis: Die endgültige Lösungsmenge kannst du nun selbst als Menge aufschreiben.