PQ-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben: \(x^2 + 6x + 5 = 0\)
Hier ist die Gleichung bereits in der passenden Form der pq-Form:
\[
x^2 + px + q = 0
\]
Also kannst du direkt ablesen:
- \(p = 6\)
- \(q = 5\)
1) PQ-Formel aufschreiben
Für \(x^2 + px + q = 0\) lautet die pq-Formel:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}
\]
2) Werte einsetzen
Setze \(p=6\) und \(q=5\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 – 5}
\]
3) Schrittweise vereinfachen
Zuerst die Brüche und das Quadrat vereinfachen:
\[
-\frac{6}{2} = -3
\]
\[
\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2
\]
Damit wird der Ausdruck:
\[
x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{3^2 – 5}
\]
Nun im Wurzelterm weiterrechnen:
\[
3^2 – 5 = 9 – 5
\]
Also:
\[
x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{9 – 5}
\]
4) Tipp zum schnellen Prüfen (ohne auszurechnen)
Wenn \(x^2+6x+5\) sich in zwei Klammern zerlegen lässt, sieht das so aus:
\((x+a)(x+b)\) mit \(a+b=6\) und \(ab=5\).
Das ist eine gute Kontrolle, ob deine Lösungen später sinnvoll sind.
Weiterarbeit
Rechne jetzt im letzten Schritt den Wurzelterm \(\sqrt{9-5}\) aus und setze ihn in
\(-3 \pm \dots\) ein, um die beiden Lösungen zu erhalten.