Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion
\(y = x^7\).
Bestimme die Ableitung \(y’\).
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Passende Regel erkennen
Die Funktion ist eine reine Potenzfunktion der Form
\(\;x^n\;\) mit \(\;n=7\).
Dafür nutzt man die Potenzregel:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n \cdot x^{n-1}.
\]
2) Potenzregel anwenden
Setze \(n=7\) ein:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^7\right) = 7 \cdot x^{7-1}.
\]
3) Exponenten vereinfachen
Rechne im Exponenten \(7-1\):
\[
7 \cdot x^{7-1} = 7 \cdot x^6.
\]
Hinweis zur Faktorregel
Die Faktorregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\left(a \cdot f(x)\right) = a \cdot f'(x).
\]
In dieser Aufgabe entsteht der Faktor \(7\) erst durch die Potenzregel.
Danach bleibt er beim Ableiten (wenn man weiter ableiten würde) einfach als konstanter Faktor stehen.
Kontroll-Tipp
Bei \(x^7\) muss die Ableitung wieder eine Potenz von \(x\) sein, und der Exponent wird um \(1\) kleiner.
Außerdem steht vorne der alte Exponent als Faktor. Genau das sieht man in \(7 \cdot x^6\).
Arbeite den letzten Ausdruck jetzt als Ergebnis für \(y’\) aus.