Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\( y = \sqrt{x^3} \)
Ziel
Die Ableitung \(y’\) mit der Potenzregel (und ggf. Faktorregel) bestimmen.
Schritt 1: Wurzel als Potenz schreiben
Eine Wurzel kann man als Potenz mit Exponent \( \tfrac{1}{2} \) schreiben:
\[
\sqrt{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{2}}
\]
Schritt 2: Potenzen vereinfachen
Nutze die Regel \((a^m)^n = a^{m\cdot n}\):
\[
(x^3)^{\frac{1}{2}} = x^{3\cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}
\]
Damit lautet die Funktion einfacher:
\[
y = x^{\frac{3}{2}}
\]
Schritt 3: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n\cdot x^{n-1}
\]
Hier ist \(n = \tfrac{3}{2}\). Also:
\[
y‘ = \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1}
\]
Schritt 4: Exponenten ausrechnen
\[
\frac{3}{2}-1 = \frac{3}{2}-\frac{2}{2} = \frac{1}{2}
\]
Damit:
\[
y‘ = \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}
\]
Schritt 5: Zurück in Wurzelschreibweise (optional)
Da \(x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}\), kann man auch schreiben:
\[
y‘ = \frac{3}{2}\sqrt{x}
\]
Tipps
-
Erst umschreiben, dann ableiten: Wurzeln wie \(\sqrt{x^3}\) sind fast immer leichter,
wenn du sie zuerst als Potenz \(x^{\frac{3}{2}}\) schreibst. -
Brüche sauber rechnen: Beim Ableiten mit gebrochenen Exponenten ist das häufigste Problem
das Subtrahieren von \(1\). Schreibe \(1\) immer als passenden Bruch (hier: \(\frac{2}{2}\)).
(Die angegebene Lösung stimmt mit dem Ergebnis überein; den letzten Ausdruck kannst du so stehen lassen.)