Aufgabe: Brüche vergleichen
Lösung
Vergleiche die Brüche und setze das richtige Zeichen ein:
\(\frac{2}{3}\) ____ \(\frac{5}{8}\)
Methode 1: Auf gleichen Nenner bringen (Hauptnenner)
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Finde einen gemeinsamen Nenner für \(3\) und \(8\). Ein gemeinsames Vielfaches ist \(24\), denn:
- \(3 \cdot 8 = 24\)
- \(8 \cdot 3 = 24\)
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Erweitere \(\frac{2}{3}\) so, dass der Nenner \(24\) wird.
Von \(3\) zu \(24\) ist es \(\cdot 8\). Also:
\[
\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}
\] -
Erweitere \(\frac{5}{8}\) so, dass der Nenner \(24\) wird.
Von \(8\) zu \(24\) ist es \(\cdot 3\). Also:
\[
\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}
\] -
Jetzt kannst du die Zähler vergleichen, weil die Nenner gleich sind:
\[
\frac{16}{24} \ \_\_\_\_ \ \frac{15}{24}
\]Überlege: Welcher Zähler ist größer, \(16\) oder \(15\)? Daraus folgt dann das richtige Vergleichszeichen für die ursprünglichen Brüche.
Methode 2: Kreuzmultiplikation (ohne Nenner gleich machen)
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Bei \(\frac{a}{b}\) und \(\frac{c}{d}\) vergleichst du \(a \cdot d\) mit \(c \cdot b\).
Hier also:
\[
2 \cdot 8 \ \text{mit} \ 5 \cdot 3
\] -
Rechne beide Produkte aus (im Kopf oder schriftlich):
- \(2 \cdot 8 = \_\_\_\_\)
- \(5 \cdot 3 = \_\_\_\_\)
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Vergleiche die beiden Ergebnisse. Wenn \(2\cdot 8\) größer ist, dann ist \(\frac{2}{3}\) größer; wenn \(5\cdot 3\) größer ist, dann ist \(\frac{5}{8}\) größer.
Tipps
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Wenn die Nenner „einfach“ sind (wie \(3\) und \(8\)), ist der gemeinsame Nenner oft schnell gefunden.
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Kreuzmultiplikation ist besonders praktisch, wenn du nicht erst erweitern möchtest.
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Kontrollidee: \(\frac{2}{3}\) ist etwas weniger als \(\frac{2}{2} = 1\), also etwa \(0{,}6\ldots\). \(\frac{5}{8}\) ist \(\frac{4}{8}=0{,}5\) plus \(\frac{1}{8}\), also \(0{,}625\). Das hilft als Plausibilitätscheck (ohne Taschenrechner).
Setze jetzt das passende Zeichen ein, ohne dass ich es dir direkt hinschreibe:
\(\frac{2}{3}\) ____ \(\frac{5}{8}\)