Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben ist die Gleichung:
5x2 + 10x − 15 = 0
1) In die Normalform der pq-Formel bringen
Die pq-Formel gilt für Gleichungen der Form
x2 + px + q = 0.
Deshalb müssen wir zuerst dafür sorgen, dass vor x2 eine 1 steht.
Dazu teilen wir die ganze Gleichung durch 5:
5x2 + 10x − 15 = 0
:5
x2 + 2x − 3 = 0
Jetzt können wir ablesen:
p = 2 und q = −3 (das passt zu deiner Angabe).
2) pq-Formel aufschreiben
Die pq-Formel lautet:
x = −½p ± √((½p)2 − q)
3) p und q einsetzen
Setze p = 2 und q = −3 ein:
x = −½·2 ± √((½·2)2 − (−3))
4) Schrittweise vereinfachen
Rechne nun Stück für Stück:
- −½·2 vereinfachen (das ist der Teil vor dem ±).
- (½·2) zuerst ausrechnen und dann quadrieren.
- Beachte das Minus vor q: −(−3) wird zu +3.
- Dann den Ausdruck unter der Wurzel zusammenfassen und die Wurzel ziehen (falls möglich).
5) Zwei Lösungen
Durch das ± entstehen zwei Werte:
- x1 mit dem Plus-Zeichen
- x2 mit dem Minus-Zeichen
Tipps zum leichteren Rechnen (ohne Hilfsmittel)
-
Teile bei der pq-Formel am besten zuerst p durch 2, bevor du quadrierst:
Also erst p/2 berechnen, dann (p/2)2. -
Achte besonders auf Vorzeichen: −q bedeutet „das Gegenteil von q“.
Bei negativem q wird daraus ein Plus. - Wenn unter der Wurzel eine Zahl steht, prüfe, ob sie eine Quadratzahl ist (z.B. 1, 4, 9, 16, …).
Wenn du möchtest, kannst du deine beiden berechneten Werte für x hier schicken,
dann kann ich dir zeigen, wie man sie durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung überprüft.