$$ \frac{15}{8 – \sqrt{5}} $$

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Wurzeln rationalisieren mit binomischen Formeln

Lösung

Gegeben ist der Ausdruck: \(\frac{15}{8 – \sqrt{5}}\).

Wir möchten den Nenner rationalisieren, das bedeutet, wir wollen die Wurzel im Nenner beseitigen. Dazu nutzen wir die binomische Formel: \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\).

Schritte zur Lösung:

  1. Identifiziere den Nenner als \(8 – \sqrt{5}\).

  2. Multipliziere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners, das ist \(8 + \sqrt{5}\).

    Der neue Ausdruck wird: \(\frac{15 \cdot (8 + \sqrt{5})}{(8 – \sqrt{5})(8 + \sqrt{5})}\).

  3. Berechne den Nenner mit der binomischen Formel:

    \((8 – \sqrt{5})(8 + \sqrt{5}) = 8^2 – (\sqrt{5})^2 = 64 – 5 = 59\).

  4. Berechne den Zähler:

    \(15 \cdot (8 + \sqrt{5}) = 15 \cdot 8 + 15 \cdot \sqrt{5} = 120 + 15\sqrt{5}\).

  5. Setze die Ergebnisse zusammen:

    Der rationalisierte Ausdruck ist \(\frac{120 + 15\sqrt{5}}{59}\).

Tipps:

  • Stelle sicher, dass du das konjugierte Paar korrekt bestimmst, indem du das Vorzeichen des irrationalen Teils änderst.
  • Überprüfe deine Berechnungen sorgfältig, insbesondere die Anwendung der binomischen Formel.

Mit diesen Schritten kannst du Wurzeln im Nenner rationalisieren und den Ausdruck vereinfachen.

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