Aufgabe: Wurzelvereinfachung
Lösung
Vereinfache: \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{14}\)
Schritt 1: Wurzelregel anwenden
Eine wichtige Regel lautet:
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\)
(gilt für \(a\ge 0\) und \(b\ge 0\)).
Also:
\(\sqrt{7}\cdot\sqrt{14}=\sqrt{7\cdot 14}\)
Schritt 2: Produkt im Radikanden ausrechnen
Jetzt berechnest du \(7\cdot 14\). Das geht gut ohne Taschenrechner, indem du \(14\) zerlegst:
\(14 = 2\cdot 7\)
Dann ist:
\(7\cdot 14 = 7\cdot (2\cdot 7) = (7\cdot 7)\cdot 2 = 49\cdot 2\)
Damit wird der Ausdruck:
\(\sqrt{7\cdot 14}=\sqrt{49\cdot 2}\)
Schritt 3: Quadratzahl aus der Wurzel ziehen
\(49\) ist eine Quadratzahl, denn:
\(49 = 7^2\)
Daher gilt:
\(\sqrt{49\cdot 2}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{2}=7\cdot\sqrt{2}\)
Tipps zum leichteren Lösen
-
Versuche, Zahlen unter der Wurzel in Primfaktoren oder in ein Produkt mit einer Quadratzahl zu zerlegen
(hier: \(14=2\cdot 7\), dadurch entsteht \(7\cdot 7\)). - Merke dir häufige Quadratzahlen: \(4,9,16,25,36,49,64,81,100\). Dann erkennst du schneller, was man „rausziehen“ kann.
Wenn du bis hierher gekommen bist, hast du die vereinfachte Form praktisch erreicht.
(Die angegebene Lösung lautet entsprechend \(7\sqrt{2}\).)