Wurzeln rationalisieren mit binomischen Formeln
Lösung
Wir haben den Bruch: \(\frac{20}{6 + \sqrt{2}}\). Unser Ziel ist es, den Nenner zu rationalisieren, d.h., den Wurzelterm aus dem Nenner zu entfernen.
Schritte zur Lösung:
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Multipliziere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Term des Nenners. Der konjugierte Term von \(6 + \sqrt{2}\) ist \(6 – \sqrt{2}\).
Somit multiplizieren wir den Bruch mit \(\frac{6 – \sqrt{2}}{6 – \sqrt{2}}\):
\[
\frac{20}{6 + \sqrt{2}} \times \frac{6 – \sqrt{2}}{6 – \sqrt{2}}
\] -
Berechne den neuen Zähler:
\[
20 \times (6 – \sqrt{2}) = 20 \times 6 – 20 \times \sqrt{2} = 120 – 20\sqrt{2}
\] -
Berechne den neuen Nenner unter Anwendung der dritten binomischen Formel:
\[
(6 + \sqrt{2})(6 – \sqrt{2}) = 6^2 – (\sqrt{2})^2 = 36 – 2 = 34
\] -
Setze Zähler und Nenner zusammen:
\[
\frac{120 – 20\sqrt{2}}{34}
\] -
Optional: Kürze den Bruch, falls möglich. In diesem Fall ist der Bruch \(\frac{120 – 20\sqrt{2}}{34}\) bereits gekürzt, da es keinen gemeinsamen Teiler für alle Teile des Zählers und den Nenner gibt.
Tipps:
- Der konjugierte Term eines Ausdrucks der Form \(a + b\sqrt{c}\) ist \(a – b\sqrt{c}\). Multiplizieren mit dem konjugierten Term hilft, die Wurzel im Nenner zu eliminieren.
- Überprüfe immer, ob der Bruch nach der Rationalisierung gekürzt werden kann.
Denke daran, dass es wichtig ist, alle Schritte sorgfältig durchzuführen, um Fehler zu vermeiden.