Thema: n-te Wurzel
Lösung
Aufgabe
\(\sqrt[4]{625}\)
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszurechnen)
1) Idee: Schreibe die Zahl als Potenz mit Exponent 4
Bei einer 4. Wurzel ist es besonders praktisch, wenn die Zahl unter der Wurzel als
vierte Potenz geschrieben werden kann, also in der Form \(a^4\).
2) 625 als Potenz darstellen
Man kann 625 so zerlegen:
- \(625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\)
Das ist genau die Definition von \(5^4\), also:
\[
625 = 5^4
\]
3) Wurzelregel anwenden
Wenn unter der 4. Wurzel eine vierte Potenz steht, gilt:
\[
\sqrt[4]{a^4} = a
\]
(Für positive Zahlen wie hier ist das direkt so anwendbar.)
4) Auf die Aufgabe übertragen
Setze \(625 = 5^4\) ein:
\[
\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4}
\]
Und nun kannst du die Regel aus Schritt 3 anwenden, um den Ausdruck zu vereinfachen
(ohne dass du noch „groß rechnen“ musst).
Tipps
- Bei \(\sqrt[n]{\;}\) lohnt es sich fast immer zu prüfen, ob die Zahl eine n-te Potenz ist.
- Häufige vierte Potenzen sind z.B. \(2^4\), \(3^4\), \(4^4\), \(5^4\), … (also jeweils viermal dieselbe Zahl multipliziert).
Kontrolle mit der gegebenen richtigen Form
Die angegebene richtige Umformung lautet: \(\sqrt[4]{5^4}\). Genau dorthin sind wir in Schritt 4 gekommen.
Der letzte Vereinfachungsschritt folgt dann direkt aus der Wurzelregel.