Thema: Ableitung (Formelsammlung)
Lösung
Gegeben
\(f(x)=4\arccos(x)\)
Ziel
Bestimme \(f'(x)\).
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Konstante Faktorregel anwenden
Hier steht eine Konstante \(4\) vor der Funktion \(\arccos(x)\).
Dafür gilt die Regel:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x)
\]
Also:
\[
f'(x)=4\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\arccos(x)\bigr)
\]
2) Ableitung von \(\arccos(x)\) aus der Formelsammlung
Aus der Formelsammlung (bzw. den Standardableitungen) weiß man:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\arccos(x)\bigr)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\]
3) Einsetzen und zusammenfassen
Setze diese Ableitung in Schritt 1 ein:
\[
f'(x)=4\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)
\]
Jetzt nur noch den Faktor \(4\) mit dem Bruch multiplizieren (Vorzeichen beachten!):
\[
f'(x)= -\frac{4}{\sqrt{1-x^2}}
\]
Tipps
-
Merke dir bei den Umkehrfunktionen besonders das Minuszeichen bei \(\arccos(x)\).
Viele Fehler passieren, weil man das vergisst. -
Wenn vor einer Funktion nur ein konstanter Faktor steht (wie hier die \(4\)), immer zuerst die Faktorregel nutzen:
Das macht den Rest übersichtlich. -
Achte auf den Definitionsbereich: \(\arccos(x)\) ist (im Reellen) nur für \(-1\le x\le 1\) definiert,
und im Nenner steht \(\sqrt{1-x^2}\), daher darf \(x\) nicht genau \(\pm 1\) sein, wenn du die Ableitung als Funktion betrachtest.
Kontrollidee: Das Ergebnis passt zur angegebenen korrekten Ableitung, aber rechne es beim Üben immer selbst sauber über die Regeln her.