Thema: Ableitung (Formelsammlung)
Lösung
Gegeben: \( f(x) = \log_a(x^2) \)
1) Wichtige Umformung (Basiswechsel)
Für Logarithmen zur Basis \(a\) ist es oft am einfachsten, zuerst die Basiswechsel-Formel zu benutzen:
\[
\log_a(u) = \frac{\ln(u)}{\ln(a)}
\]
Dabei ist \(u\) eine Funktion von \(x\). Hier gilt \(u(x)=x^2\).
Also:
\[
f(x) = \log_a(x^2) = \frac{\ln(x^2)}{\ln(a)}
\]
2) Konstante ausklammern
\(\ln(a)\) hängt nicht von \(x\) ab (also eine Konstante). Daher kann man schreiben:
\[
f(x) = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \ln(x^2)
\]
3) Ableiten mit der Faktorregel
Mit der Faktorregel bleibt der konstante Faktor \(\frac{1}{\ln(a)}\) beim Ableiten stehen:
\[
f'(x) = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{d}{dx}\bigl(\ln(x^2)\bigr)
\]
4) Ableitung von \(\ln(\,\cdot\,)\) mit der Kettenregel
Merke:
\[
\frac{d}{dx}\ln(u(x)) = \frac{u'(x)}{u(x)}
\]
Hier ist \(u(x)=x^2\). Dann ist
\[
u'(x)=2x
\]
Also:
\[
\frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2x}{x^2}
\]
5) Zusammensetzen und vereinfachen
Setze das in \(f'(x)\) ein:
\[
f'(x) = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{2x}{x^2}
\]
Jetzt kürzen: \(\frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}\) (für \(x \neq 0\)).
Damit erhältst du:
\[
f'(x) = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{2}{x}
\]
Tipps / Hinweise
- Immer zuerst Basiswechsel bei \(\log_a(\cdot)\): Das macht das Ableiten viel einfacher.
-
Achte auf die Definitionsbedingungen: Für \(\log_a(\cdot)\) gilt \(a>0\), \(a\neq 1\) und das Argument muss \(>0\) sein.
Hier ist \(x^2>0\) für alle \(x\neq 0\), also ist \(x\neq 0\) wichtig. - Beim Vereinfachen von \(\frac{2x}{x^2}\) hilft es, \(x^2 = x\cdot x\) zu schreiben und ein \(x\) zu kürzen.
(Die endgültige Form der Ableitung ergibt sich direkt aus dem letzten Term durch Zusammenfassen.)