Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus
Lösung
Aufgabe: \(3^x = 243\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Bedeutung der Gleichung verstehen
Die Gleichung \(3^x = 243\) fragt: Mit welcher Potenz muss man die 3 potenzieren, damit 243 herauskommt?
Genau dafür ist der Logarithmus da:
Allgemein gilt die Umformungsregel:
\[
a^x = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_a(b)
\]
Hier ist \(a=3\) und \(b=243\). Also:
\[
x = \log_3(243)
\]
(Das ist genau die angegebene richtige Umformung.)
2) Logarithmus ohne Taschenrechner auswerten (durch Potenzen erkennen)
Um \(\log_3(243)\) zu bestimmen, ist es am einfachsten, \(243\) als Potenz von 3 zu schreiben.
Dazu kannst du die Potenzen von 3 schrittweise aufbauen:
- \(3^1 = 3\)
- \(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\)
- \(3^3 = 9 \cdot 3 = 27\)
- \(3^4 = 27 \cdot 3 = 81\)
- \(3^5 = 81 \cdot 3 = 243\)
Jetzt siehst du:
\[
243 = 3^5
\]
3) Schlussfolgerung für den Logarithmus
Wenn \(243 = 3^5\), dann ist der Exponent, den man braucht, um von 3 zu 243 zu kommen, genau 5.
Das bedeutet:
\[
\log_3(243) = \log_3(3^5)
\]
Und mit der Regel \(\log_a(a^k)=k\) folgt:
\[
\log_3(3^5) = 5
\]
Kontroll-Tipp
Setze dein gefundenes \(x\) gedanklich in \(3^x\) ein und prüfe, ob wieder \(243\) herauskommt.
So merkst du schnell, ob du dich verrechnet hast.
Wichtiger Hinweis
Ich lasse den Endwert für \(x\) hier bewusst als Ergebnis der letzten Umformung stehen,
damit du ihn selbst eintragen kannst: Aus den Schritten oben kannst du \(x\) direkt ablesen.