Aufgabe: Exponent berechnen mit Logarithmus
Lösung
Gegeben: \(40^x = 1600\)
Gesucht: \(x\)
Schritt 1: Logarithmus-Form aufschreiben
Eine Exponentialgleichung der Form \(a^x=b\) kann man als Logarithmus schreiben:
\(x = \log_a(b)\)
Hier ist \(a=40\) und \(b=1600\). Also:
\(x = \log_{40}(1600)\)
(Das ist genau die angegebene korrekte Umformung.)
Schritt 2: Ohne Taschenrechner vereinfachen (durch Potenzen/Teiler)
Statt den Logarithmus „auszurechnen“, ist es hier viel einfacher, die Gleichung
\(40^x = 1600\) so umzuschreiben, dass man \(1600\) als Potenz von \(40\) erkennt.
Zerlege dazu \(1600\) passend:
- \(1600 = 16 \cdot 100\)
- \(40 = 4 \cdot 10\)
Jetzt quadriere \(40\), weil \(1600\) „wie ein Quadrat“ von \(40\) aussehen könnte:
\(40^2 = (4\cdot 10)^2 = 4^2 \cdot 10^2 = 16 \cdot 100\)
Und genau das ist \(1600\). Also gilt:
\(40^2 = 1600\)
Schritt 3: Exponenten vergleichen
Wenn \(40^x = 40^2\) gilt (weil beide Seiten \(1600\) sind), dann müssen die Exponenten gleich sein:
\(x = 2\)
Tipp zum schnelleren Lösen
Bei Aufgaben wie \(a^x=b\) lohnt es sich zuerst zu prüfen, ob \(b\) eine „schöne“ Potenz von \(a\) ist:
Teste z.B. \(a^2, a^3\) usw. (hier war \(40^2\) direkt passend).
Hinweis: Den Endwert für \(x\) kannst du nun selbst in die Gleichung einsetzen und kurz prüfen.