Aufgabe: Exponent berechnen mit Logarithmus
Lösung
Gegeben: \(25^x = 625\)
Idee: Um \(x\) zu finden, kann man die Gleichung in eine Logarithmus-Schreibweise umformen oder beide Seiten als Potenzen derselben Basis schreiben.
1) Umformung in Logarithmus-Schreibweise
Die Grundregel lautet:
\[
a^x = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_a(b)
\]
Hier ist \(a=25\) und \(b=625\). Also erhält man:
\[
x = \log_{25}(625)
\]
Das ist genau die angegebene korrekte Umformung. Um \(x\) nun ohne Taschenrechner auszurechnen, ist es meist einfacher, die Zahlen als Potenzen zu schreiben.
2) Rechnen ohne Logarithmus: gleiche Basis verwenden
Schreibe \(25\) und \(625\) als Potenzen von \(5\), weil beide Zahlen Vielfache von \(5\) sind:
- \(25 = 5^2\)
- \(625 = 5^4\) (denn \(5^2=25\) und \(25\cdot 25 = 625\), also \(5^2\cdot 5^2 = 5^4\))
Setze das in die Gleichung \(25^x = 625\) ein:
\[
(5^2)^x = 5^4
\]
Nutze die Potenzregel \((a^m)^n = a^{m\cdot n}\):
\[
5^{2x} = 5^4
\]
Wenn die Basen gleich sind (hier jeweils \(5\)), müssen die Exponenten gleich sein:
\[
2x = 4
\]
Jetzt löst du diese einfache Gleichung nach \(x\) auf, indem du beide Seiten durch \(2\) teilst:
\[
x = \frac{4}{2}
\]
Tipps
- Wenn in einer Gleichung wie \(a^x=b\) die Zahlen „schön“ als Potenzen einer kleineren Zahl darstellbar sind (z.B. \(25=5^2\)), ist das meist der schnellste Weg.
- Merke dir typische Potenzen: \(5^2=25\), \(5^3=125\), \(5^4=625\). Damit erkennt man Zusammenhänge schneller.
- Die Logarithmus-Schreibweise ist korrekt und hilfreich, aber zum Ausrechnen ohne Hilfsmittel ist das Umformen auf gleiche Basis oft einfacher.
Hinweis: Setze den gefundenen Wert für \(x\) am Ende zur Kontrolle in \(25^x\) ein und prüfe, ob wieder \(625\) herauskommt.