Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus
Lösung
Aufgabe
\(2^x = 16\)
Idee
Wenn die Unbekannte im Exponenten steht, hilft der Logarithmus:
Aus \(a^x=b\) wird durch Logarithmieren zur Basis \(a\):
\[
x = \log_a(b).
\]
Hier ist \(a=2\) und \(b=16\), also:
\[
x = \log_2(16).
\]
Schritt-für-Schritt-Lösung
-
Starte mit der Gleichung:
\(2^x = 16\)
-
Wende den Logarithmus zur Basis 2 auf beide Seiten an:
\(\log_2(2^x) = \log_2(16)\)
-
Nutze die wichtige Logarithmus-Regel:
\(\log_a(a^x)=x\) (weil Logarithmus und Potenzieren „Umkehrungen“ sind).Damit wird links:
\(\log_2(2^x) = x\)
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Also erhältst du:
\(x = \log_2(16)\)
Wie man \(\log_2(16)\) ohne Rechner auswertet (Tipp)
Schreibe \(16\) als Potenz von \(2\). Überlege:
- \(2^1 = 2\)
- \(2^2 = 4\)
- \(2^3 = 8\)
- \(2^4 = 16\)
Da \(16 = 2^4\), gilt:
\[
\log_2(16) = \log_2(2^4).
\]
Mit der Regel \(\log_a(a^k)=k\) kannst du daraus direkt den passenden Exponenten ablesen.
Kontroll-Tipp
Setze deinen gefundenen Wert für \(x\) probeweise in \(2^x\) ein und prüfe,
ob wieder \(16\) herauskommt.
Hinweis: Den endgültigen Zahlenwert für \(x\) kannst du nun aus der obigen Potenzliste ablesen.