Thema: Ableitung von sin(x) (Kettenregel)
Lösung
Gegeben
\( y = 36 \cdot \sin(10x) \)
Ziel
Bestimme die Ableitung \(y’\).
Schritt 1: Struktur erkennen (äußere und innere Funktion)
Die Funktion ist eine Verkettung:
- Äußere Funktion: \( \sin(u) \)
- Innere Funktion: \( u = 10x \)
- Zusätzlicher Faktor davor: \(36\)
Schritt 2: Ableitungsregeln notieren
- Faktorregel: \(\frac{d}{dx}\big(36 \cdot f(x)\big) = 36 \cdot f'(x)\)
- \(\frac{d}{dx}\big(\sin(u)\big) = \cos(u)\cdot u’\) (Kettenregel)
- \(\frac{d}{dx}(10x) = 10\)
Schritt 3: Kettenregel anwenden
Wir leiten \( \sin(10x) \) ab:
\[
\frac{d}{dx}\big(\sin(10x)\big) = \cos(10x)\cdot \frac{d}{dx}(10x)
\]
Da \(\frac{d}{dx}(10x)=10\), folgt:
\[
\frac{d}{dx}\big(\sin(10x)\big) = \cos(10x)\cdot 10
\]
Schritt 4: Faktorregel mit einbauen
Jetzt kommt der äußere Faktor \(36\) dazu:
\[
y‘ = 36 \cdot \frac{d}{dx}\big(\sin(10x)\big)
\]
Setze das Ergebnis aus Schritt 3 ein:
\[
y‘ = 36 \cdot \big( \cos(10x)\cdot 10 \big)
\]
Schritt 5: Zusammenfassen
Multipliziere die Zahlenfaktoren \(36\) und \(10\) und schreibe das Ergebnis als gemeinsamen Vorfaktor vor den Kosinus:
\[
y‘ = (36\cdot 10)\cdot \cos(10x)
\]
Tipps zum leichteren Lösen
- Merke dir: Bei \(\sin(\text{innen})\) kommt beim Ableiten immer \(\cos(\text{innen})\) heraus – und dann noch mal die Ableitung von „innen“ dazu.
- Schreibe dir kurz \(u=10x\). Dann ist \(\sin(10x)=\sin(u)\) und du vergisst \(u’\) (also die \(10\)) nicht.
- Konstanten (wie \(36\)) kannst du beim Ableiten einfach „mitnehmen“.
Kontrolle (ohne das Endergebnis auszuschreiben)
Dein Ergebnis sollte die Form „Zahl \(\cdot \cos(10x)\)“ haben, und die Zahl entsteht aus \(36\) mal der inneren Ableitung \(10\).