Thema: Ableitung mit \(\cos(x)\) (Produktregel)
Lösung
Gegeben:
\[
f(x) = (x^4 – 2x)\cdot \cos x
\]
1) Passende Regel erkennen
Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren:
- \(u(x) = x^4 – 2x\)
- \(v(x) = \cos x\)
Daher benutzt man die Produktregel:
\[
(u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘
\]
2) Einzelne Ableitungen bestimmen
a) Ableitung von \(u(x)=x^4-2x\)
Termweise ableiten:
- \((x^4)‘ = 4x^3\) (Potenzregel)
- \((-2x)‘ = -2\)
\[
u'(x) = 4x^3 – 2
\]
b) Ableitung von \(v(x)=\cos x\)
Grundregel:
\[
(\cos x)‘ = -\sin x
\]
\[
v'(x) = -\sin x
\]
3) Produktregel einsetzen
Jetzt alles in \((u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v’\) einsetzen:
\[
f'(x) = (4x^3 – 2)\cdot \cos x + (x^4 – 2x)\cdot(-\sin x)
\]
4) Vorzeichen sauber vereinfachen
Der zweite Summand hat ein Minus durch \(v'(x)=-\sin x\). Das kann man als Minus vor den ganzen zweiten Term schreiben:
\[
f'(x) = (4x^3 – 2)\cdot \cos x – (x^4 – 2x)\cdot \sin x
\]
Tipps zum leichteren Rechnen
- Schreibe immer zuerst klar \(u(x)\) und \(v(x)\) hin. Dann passiert bei der Produktregel weniger Verwechslung.
- Merksatz: \((\cos x)‘ = -\sin x\). Das Minus ist eine häufige Fehlerquelle.
- Du musst hier nicht ausmultiplizieren. Die Form mit zwei Produkten ist meist am übersichtlichsten.
(Hinweis: Dein angegebener Ausdruck für \(f'(x)\) entspricht genau dem Ergebnis aus den Schritten oben.)