Thema: Basiswechselregel der Logarithmen
Lösung
Aufgabe
\(\log_2 8\)
Ziel / Idee
Du sollst den Logarithmus zur Basis \(2\) mithilfe der Basiswechselregel
in Logarithmen zur Basis \(10\) (Zehnerlogarithmus) umschreiben.
Schritt 1: Basiswechselregel aufschreiben
Die Basiswechselregel lautet allgemein:
\[
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
\]
Dabei ist \(a\) die ursprüngliche Basis, \(b\) das Argument und \(c\) eine neue Basis
(oft nimmt man \(10\) oder \(e\)).
Schritt 2: Werte aus der Aufgabe einsetzen
Hier ist \(a=2\) und \(b=8\). Wir wählen als neue Basis \(c=10\).
Setze in die Formel ein:
\[
\log_2 8 = \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 2}
\]
Kontrolle (Warum das Sinn ergibt)
Die Basiswechselregel sorgt dafür, dass du jeden Logarithmus in einen Bruch aus Logarithmen
mit einer anderen Basis umschreiben kannst. Wichtig ist: Oben steht immer das Argument
(hier \(8\)), unten steht immer die alte Basis (hier \(2\)).
Tipp (ohne Ausrechnen)
- Merksatz: „Argument nach oben, Basis nach unten.“
- Wenn du später doch direkt rechnen willst (ohne Basiswechsel), frage dich: „Welche Potenz von 2 ergibt 8?“
(Die endgültige Auswertung wird hier absichtlich nicht zu Ende gerechnet.)