$$ 315^\circ $$

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Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß

Lösung

Gegeben: \(315^\circ\)

Grundidee

Für die Umrechnung nutzt man die feste Beziehung:
\[
180^\circ = \pi \text{ (im Bogenmaß)}
\]
Das heißt: Um von Grad ins Bogenmaß zu kommen, multipliziert man mit \(\frac{\pi}{180^\circ}\).

Schritt-für-Schritt-Rechnung

Starte mit der Umrechnungsformel:
\[
315^\circ \;=\; 315 \cdot \frac{\pi}{180}
\]

Jetzt kürzen wir den Bruch \(\frac{315}{180}\). Beide Zahlen sind durch \(45\) teilbar:

  • \(315 : 45 = 7\) (denn \(45 \cdot 7 = 315\))
  • \(180 : 45 = 4\) (denn \(45 \cdot 4 = 180\))

Damit wird:
\[
315 \cdot \frac{\pi}{180}
\;=\;
\frac{315}{180}\pi
\;=\;
\frac{7}{4}\pi
\]

Üblicher schreibt man das als:
\[
\frac{7\pi}{4}
\]

Tipps zum schnelleren Umrechnen (ohne Taschenrechner)

  • Merke dir wichtige Winkel: \(90^\circ=\frac{\pi}{2}\), \(180^\circ=\pi\), \(270^\circ=\frac{3\pi}{2}\), \(360^\circ=2\pi\).
  • Bei \(315^\circ\) kann man auch denken: \(315^\circ = 360^\circ – 45^\circ\).
    Dann wäre \(2\pi – \frac{\pi}{4}\), was zum gleichen Ausdruck führt.
  • Beim Kürzen hilft es, zuerst einen gemeinsamen Teiler zu suchen (z.B. 5, 9, 15, 45, …).

Kontrolle: Das Ergebnis soll laut Angabe \(\frac{7\pi}{4}\) sein — deine Umrechnung passt dazu.

Unbedingt lesen