Thema: Stammfunktionen einfacher Funktionen
Lösung
Gegeben: \( f(x)=2x^{-3} \)
Gesucht: Eine Stammfunktion \(F(x)\), also eine Funktion mit \(F'(x)=f(x)\).
Schritt 1: Potenzregel für Stammfunktionen erkennen
Für Potenzen gilt (für \(n\neq -1\)):
Wenn \(f(x)=a\cdot x^n\), dann ist eine Stammfunktion
\[
F(x)=a\cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
\]
Schritt 2: Werte einsetzen
Hier ist \(a=2\) und \(n=-3\).
Also ist \(n+1=-3+1=-2\).
Setze in die Regel ein:
\[
F(x)=2\cdot \frac{x^{-2}}{-2}+C.
\]
Schritt 3: Vereinfachen
\[
2\cdot \frac{1}{-2}=-1
\]
Daher:
\[
F(x)=-x^{-2}+C.
\]
Schritt 4: Kontrolle durch Ableiten (Tipp)
Um zu prüfen, ob es stimmt, leitest du \(F(x)\) ab:
Nutze die Potenzregel \( \frac{d}{dx}x^m = m x^{m-1}\).
\[
\frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right) = -\left(-2\right)x^{-3} = 2x^{-3}.
\]
Das ist genau \(f(x)\). Damit ist die Stammfunktion korrekt.
Merktipp
Bei \(x^{-3}\) wird der Exponent um \(+1\) erhöht (also zu \(-2\)) und dann durch den neuen Exponenten \(-2\) geteilt.
Das Minuszeichen entsteht hier automatisch durch das Teilen durch \(-2\).